作业帮二阶矩阵只有一个线性无关的特征向量
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/08 11:18:38
说明这个矩阵有两个相同的特征值,且矩阵不能对角化.即不存在可逆矩阵P,使P^-1AP为对角矩阵
一个向量是线性相关的充分必要条件是这个向量是零向量向量组0线性相关,无极大无关组向量组α≠0线性无关,极大无关组是其本身
设k1b1+k2b2+k3b3=0(1)等式两边左乘A得k1Ab1+k2Ab2+k3Ab3=0由已知Ab1=a1b1,Ab2=a2b2,Ab3=a2b3所以k1a1b1+k2a2b2+k3a2b3=0
书上的证明可能有点麻烦,我说个自己的证明方法吧.n行阶梯矩阵各行看成行向量α1,α2,α3.αn.假设行向量线性相关,则存在不全为0的系数k1,k2,k3..kn使得k1*a1+k2*a2+k3*a3
每个非零行,从左至右第1个非零的数所处的列对应的向量,构成一个极大无关组如:101234034567000432000000则a1,a2,a4就是一个极大无关组
有个定理:若n阶方阵有n个不同的特征值,则必有n个线性无关的特征向量.所以2阶方阵若只有一个线性无关的特征向量,那么它的特征值一定相同即它的特征值必二重
是的,这是一个定理：矩阵的不同特征值的特征向量线性无关.准确的理解是：对每个不同特征值各取一个特征向量组成向量组,则这个向量组线性无关.
特征值a的几何重数就是 n-r(A-aE)也就是齐次线性方程组 (A-aE)X=0 的基础解系所含向量的个数几何重数不超过代数重数
基本定理Ax=0有n-r(A)个线性无关的解即基础解系含n-r(A)个向量
因为不同特征值的特征根是线性无关的假定两个特征值s1,s2对应的特征根分别为x1,x2Ax1=s1x1Ax2=s2x2如果x1,x2线性相关,则必有kx1=x2所以Ax2=s2x2=>Ax1=s2x1
矩阵的一个特征值可以有多个线性无关的特征向量但线性无关的特征向量的个数,不超过特征值的重数
这与A的阶没关系只要A的线性无关的特征向量个数达不到n(A的阶)个A必有重特征值
λ+λ+λ并不是矩阵的迹,是A的全部特征值的和有个定理:A的全部特征值的和等于A的迹再问：您好，这个定理我找到了之前一直忽略了，请问A只有一个线性无关的特征向量为什么它的3个特征值相同？再答：因为属于
是的,否则存在线性无关的α,β都以λ为特征值,将α,β扩充为线性空间的一组基,在这组基下易见特征多项式以λ为重根.
不是的.当A是实对称矩阵时能保证它有n个线性无关的特征向量.你研究一下这个矩阵:0-101-20-10-1它只有一个特征值-1,只有一个线性无关的特征向量.书中给的结论要记住条件,没给的不能想
是的,而且在所有不同的特征值的所有线性无关的特征向量可以作为线性空间的一个基,这个基下矩阵可化为对角阵
设三阶方阵A的三重特征根为c首先看这唯一的特征值c是不是01如果c是0那么Ax=cx=0那么由于矩阵只有2个线性无关的特征向量,即解空间的维数等于2那么rkA=n-dim解空间=3-2=12如果c非0
A^2=AA假设有A^2x=AAx=0,则有Ax=0,R(A)=n,所以x只有零解,所以有A^2*0=0,所以R(A^2)=n,故矩阵A^2的列向量线性无关
因为题目要求行向量组的一个极大无关组,需将矩阵转置再用初等行变换(1)A^T=3111-1302-42-14r1-3r2,r4-2r204-81-1302-401-2r1-4r4,r3-2r40001
楼上看错了吧,是线性无关,不是线性相关.其实很容易,方阵A的列线性无关等价于det(A)非零,也等价于det(A^2)=det(A)^2非零.