关于形如yf(xy)dx xg(xy)dy=0 的一阶微分方程类型的例题

因为对任意x,y都有f(xy)=xf(y)+yf(x)所以令x=y=1时,有f(1*1)=1*f(1)+1*f(1)∴f(1)=0令x=y=0得f(o)等于零（2）因为f(x)对任意x,y都有f(xy

令x=y=0得f(0)=0；令x=y=1得f(1)=0；令x=y=-1得f(-1)=0；令y=-1得f(-x)=-f(x)所以f(x)是奇函数

dz/dx=y(yf1'+2f2')dz/dy=f(xy,2x+y)++y(xf1'+f2')da/dxdy=(yf1'+2f2')+y【f1'+y(xf1'+f2')+2(xf1'+f2'）】=2y

由于在x=1处可导,所以【f(1+t）-f（1）】/t当t趋于0是极限存在等于f'(1)；对于任意点x>0,f(x+t)=f{(1+t/x)x}=xf(1+t/x)+(1+t/x)f(x)=f(x)+

这里面的f(xy)是xy的函数值.y和x一样都是变量,或是任意数.（条件应为f(xy)=xf(y)+yf(x)）取x=y=-1则,f(1)=-2f(-1)取x=-1,y=1,f(-1)=-f(1)+f

令x=y=1得f(1)=0令y=1/x得0=f(x)/x+xf(1/x)所以f(1/x)=-f(x)/x^2对x求导得yf'(xy)=yf'(x)+f(y)令y=1/x得f'(1)/x=f'(x)/x

对任意x,y,恒有f（xy）=yf(x)+f(y),则令y=1代入得：f(x)=f(x)+f(1)得到：f(1)=0对f（xy）=yf(x)+f(y),两边求关于y的导,可得：xf'(xy)=f(x)

1、在已知等式中,取x=y=2得4f(4)=2f(2)+2f(2)=4f(2),l因此f(2)=f(4),即a1=a2.2、在已知等式中,取x=2,y=2^n(n=1,2,3,.),则2^(n+1)*

在f(xy)=yf(x)+xf(y)中,令x=y=1f(1*1)=1*f(1)+1*f(1)即f(1)=f(1)+f(1)0=f(1)+f(1)-f(1)=f(1)故：f(1)=0再问：不恒为0的条件

解题思路：解方程组可求。解题过程：varSWOC={};SWOC.tip=false;try{SWOCX2.OpenFile("http://dayi.prcedu.com/include/readq

我大一时候特会这个,现在想不起来咋做呃.f（x)=f(y)=设u=xyyfu+xgu=0你自己再想想

f(1)=1*f(1)+1*f(1)=2*f(1)->f(1)=0f(1)=f(-1*-1)=-2f(-1)->f(-1)=0f(-2^n)=-f(2^n)+2^n*f(-1)=-f(2^n)f(2^

解　（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），所以令x=y=1，得f（1）=0，令x=y=-1，得f（-1）=0；（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf

(1)令x=y=0,则f(0)=0令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0令x=y=-1,则f(1)=-f(-1)-f(-1)=0,所以f(-1)=0(2)y=-1,则f(-x)

f12=f21

设v=xy,则原式v/x*f(v)dx+x*g(v)(dv-vdx/y)/x=0(两边乘以x）(vf(v)-vg(v))dx+xg(v)dv=0到这里两边再除以x(vf(v)-vg(v))就可以分离变

y=f(x)[0+无穷]上是增函数,f(xy)=xf(y)+yf(x),令x=1,y=1f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0f(-xy)=xf(y)+yf(x)=-xf(y)-yf(x)=-f(x

(1)令x=y=1,f(1)=f(1)+f(1)f(1)=0令x=y=-1,f(1)=-f(-1)-f(-1)-2f(-1)=f(1)=0f(-1)=0(2)令y=-1,f(-x)=-f(x)+xf(

令g(x)=f(x)-xg(xy)+xy=x(g(y)+y)+y(g(x)+x)-xyg(xy)=xg(y)+yg(x)令x=0,g(0)=yg(0),g(0)=0若存在|a|>=1使得g(a)不等于

挺好的题f(xy)=xf(y)+yf(x)---(1)设y=c=常量则：f(cx)=cf(x)+f(c)x两边求导数f'(cx)*c=cf'(x)+f(c)cf'(cx)-cf'(x)=f(c)此式对