A为m*n的矩阵,若齐次线性方程组Ax=0只有零解,则对任意m维列向量-搜答案-智慧作业帮

反证法就行了不妨设j,k列相关Bj=cBk则Ejj=cEjkEjj=1=>Ejk=1/c不等于0矛盾所以不存在j,k使线性相关

证明:由C可逆知r(C)=n所以n=r(C)=r(AB)

证明:m=r(Em)=r(AB)

证明:由已知,r(A)=m,r(B)=n-m所以AX=0的基础解系含n-r(A)=n-m个向量又因为AB=0,所以B的列向量组都是AX=0的解而r(B)=n-m所以B的列向量组组构成AX=0的基础解系

方程组Bx＝0的解都是Cx＝0的解,但是C可逆,所以Cx＝0只有零解,所以Bx＝0也只有零解,所以B的列向量线性无关

应该要让P可逆.设A为n×m矩阵,A的列向量组线性无关,证明存在列向量线性无关的矩阵B（下标n（n-m）,使得P=(A,B)可逆,且B‘A=0.证明：考虑齐次线性方程组A'x=0,系数矩阵A'的秩是m

因为n=r(In)=r(AB)

若是m=p,C就是P阶方阵,r（C）=m->|C|不等于0,即线性无关.

ank(AB)

应该是行列式|AB|=0因为A为m*n的矩阵所以r(A)

知识点:齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的列向量组线性无关.证明:考虑齐次线性方程组ABx=A(Bx)=0.由于A的列向量组线性无关,所以Bx=0又由B的列向量组线性无关,所以x=0所

直接用定义验证(Aα1,Aα2,...,Aαs)(c1,c2,...,cs)^T=0A(α1,α2,...,αs)(c1,c2,...,cs)^T=0(α1,α2,...,αs)(c1,c2,...,

把B写出分块矩阵的形式,B=(b1,b2,..bs),其中bi是B的第i个列向量,(i=1,2..s)AB=0A(b1,b2,..bs)=(Ab1,Ab2,..Abs)=0=(0,0,...0)Abi

①由AB=Em,知R(AB)=m【秩等于行最简型矩阵的非零行的行数,而m阶单位阵属于行最简型矩阵,其非零行行数为m】又,R(AB)≦R(A)【书上有这个性质的】故m≦R(A)；②由A为m*n矩阵,且m

证明:首先有r(B)>=r(AB)=r(I)=m而B只有m列,所以r(B)

证明：矩阵AB的秩为r(AB)=r(Em)=m,而r(AB)=m.----------(1)另外由题意,B为n×m矩阵,且n＞m,则可知r(B)

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T

考虑方程ABx=0,由于A的列向量线性无关,所以只可能是Bx＝0.这说明ABx＝0的解空间与Bx=0的解空间相同,其中ABx=0解空间的维度为s-r(AB),Bx＝0解空间的维度是s－r(B).两个方

A,理解错误,列秩等于行秩,不对是因为不一定任意m个均线性无关.B理解正确.c错,A可以等于0D看不清

证明:设α为k维列向量,是CX=0的解,即有Cα=0.则ABα=0.(*)因为r(A)=n所以AX=0只有零解.由(*)知Bα=0.(**)又因为r(B)=k所以BX=0只有零解.由(**)知α=0.