若a既是n维欧式空间v上的正交变换又是对称变换,那么a平方必是恒等变换

两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,正交矩阵的逆仍是正交矩阵.一个n阶矩阵的A行（列）向量可以构成Rn的标准正交基的充要条件是A是正交矩阵.具体的说明,你自己补全下.

⑴T(x)=x-2(x,a)aT²﹙x﹚＝T﹙T﹙x﹚﹚＝x-2(x,a)a-2﹙[x-2(x,a)a],a﹚a＝x-2(x,a)a-2﹛﹙x,a﹚a-2[(x,a)a,a﹚]a﹜＝x-2(

这个只需要说明：A,B为正交矩阵时,AB也是正交矩阵,这是显然的,因为AB（AB）^T=E所以AB是正交矩阵,从而得到结论……

根据定义,要证明是正交变换,只要证明该变换保持内积不变就行了.设a,b是V中的两个向量,a在标准正交基下的坐标是X=[x1,x2,...,xn]'('表示转置)b在标准正交基下的坐标是Y=[y1,y2

再答：从命题2开始看～

正交变换满足σ^Tσ是恒等映射.因此对任意的两个非零向量a,b,有==,即正交变换保持内积不变,因此||a||^2==.长度不变.于是a与b的夹角cos(theta)=/【||a||*||b||】在正

注意σ(ζ)=0等价于0==,即ζ=0用上述性质直接验证σ是线性变换即可:σ(ζ+η)-σ(ζ)-σ(η)=0σ(kζ)-kσ(ζ)=0

记Q＝【a1,a2,...,an】是正交阵,其中am+1,am+2,...,an和a1,...,am组成V的正交基,因此有Q^Ta模长的平方＝a^TQQ^Ta=a^Ta=a的模长的平方.注意到要证不等

Gram-Schmidtprocess.再问：什么意思啊再答：给定任意组线性无关组,用Gram-Schmidt过程求正交基,再进行标准化.书上肯定有

(1)两个子空间的和是直和只需要证明它们的交只有零向量.设Y∈ker(A)∩im(A),则AY=0且存在X使Y=AX.∵A²=A,∴Y=AX=A²X=A(AX)=AY=0.即ker

感觉题目有点问题,最后应该是证明：V可分解为两个正交的二维A不变子空间的直和,否则A作为一个变换怎么分解为直和?我得想法：V是4维空间,则A的特征多项式为4次,又没有实特征值,从而特征多项式一定是两个

将a1,a2...am扩充为V的标准正交基a1,a2...am,...,an任一向量a可表示为a=k1a1+k2a2+...+kmam+...+knan(a,ai)=ki||a||^2=(a,a)=(

用反证法吧.假设a1…an+2(下标,后同）两两互为钝角n维空间任意n+1个向量线性相关,即存在不全为0的数k1….kn+1使得k1a1+…+kn+1an+1=0两边跟an+2内积,k1＜a1,an+

只要证明两两正交的非零向量线性无关即可,用线性无关的定义去证明.再问：我要解答过程再答：我只给提示

a=0时必有b=0,线性变换T0=0,结论显然成立；a≠0时：（εi、ηi为两组标准正交基）令a=∑xiεi,由于(a,a)=(b,b),(b-∑xiηi,b-∑xiηi)=0,b-∑xiηi=0,b

设V是一个非空集合,P是一个数域,在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法；这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素＠和＃,在V中都有唯一的一个元素＄与他们对应,称为＠与＃的和,记为＄＝＠＋

设V的正交基b1,b2到a1,a2的过渡矩阵为k11k12k21k22则有a1=k11b1+k12b2a2=k21b1+k22b2再由度量矩阵得5=(a1,a1)=k11^2+k12^24=(a1,a

a2=（1,0,-1）,a3=（-1,0,1）

证:设k0a+k1B(a)+k2B^2(a)+……+k(n-1)B^(n-1)(a)=0(1)用B^(n-1)作用等式两边,因为B^n(a)=0,故得k0B^(n-1)(a)=0.又因为B^(n-1)

A是正交变换,即AA*=EA是对称变换,即A=A*所以显然有A²=AA*=E