设AB是m×n矩阵且RA=r1 RB=r2 则R(A B)≤-搜答案-智慧作业帮

AB的列向量可由A的列向量线性表示所以r(AB)

因为r(AB)

证明:首先有r(AB)≤min(r(A),r(B))≤r(A).再由B为行满秩,r(B)=n所以B可经过初等行变换化为(En,B1).所以存在可逆矩阵P使PB=(En,B1),且有r(AP^(-1))

A的列+B的列=A+B的列而A的每一列可以写成A的列空间的基的线性组合B的也可以写成B列空间的基的线性组合从而A+B的列就可以写成A与B的极大无关组的线性组合从而A+B的列这一向量组可以被A和B的极大

易知：A是m*n矩阵,且列向量组线性无关,所以r(A)=n,所以r(AB)=r(A)=n,因为n=r(AB)≤r(B)（或r(A)）≤n（B是n阶矩阵）所以n≤r(B)≤n=>r(B)=n（2）此外,

如果A可逆的话是n*n的

因为AB=AC所以A(B-C)=0所以B-C的列向量都是Ax=0的解又因为B≠C所以B-C≠0所以Ax=0有非零解所以r(A)

∵C是n阶可逆矩阵∴C可以表示成若干个初等矩阵之积，即C=P1P2…Ps，其中Pi（i=1，2，…，s）均为初等矩阵．而：B=AC，∴B=AP1P2…Ps，即B是A经过s次初等列变换后得到的，又初等变

由于C可逆,所以r(AC)=r(A)即有r=r1故(C)正确.

因为m=r(AB)

证:将B按列分块为B=(b1,...,bs)因为AB=0所以A(b1,...,bs)=(Ab1,...,Abs)=0所以Abi=0,i=1,...,s即B的列向量都是齐次线性方程组AX=0的解向量所以

恐怕你的结论不对,例如：a=[1,2,3;4,5,6];b=a'c=a*b=[2228;4964]|ab|=|c|=det(c)=36!=0.

首先证明任取n维列向量x≠0,Bx≠0因为R(B)=n,所以存在B的n级子式不为0,不妨设B前n行构成的子式|B1|不为0,则若B1x=0必有x=0,矛盾.所以B1x≠0,所以Bx≠0.这样因为A正定

n值为AB所共有那么只能把AB和n作比较如果是A行秩B列秩的话（既引入m又引入s）无法比较

AB的维数：m*m,是个方阵R(AB)

只能选B小于m再问：��ϸ��һ��лл再答：û��ϸ��ͣ��Ŀ�ǲ��걸�ģ�ֻ��ѡB��R(AB)n��Ϊ��m>nʱA��޹صģ�B��

对任何非0的n维实向量X,由于rank(A)=n,则AX!=0,从而有X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX)=|AX|^2>0故A^TA是正定阵

楼上证明不对.证明：（1）在矩阵乘法中,乘积的秩r(AB)=n,若m≠n,则不失一般性,可设m

注意到AC的行列数与A相同,故A右乘C实际上就是对A进行初等列变换,故r=r1

命题一和命题二的区别就是命题二是命题一的充分条件.命题二是充分必要的.再问：怎么说？

设AB是m×n矩阵 且RA=r1 RB=r2 则R(A B)≤