设A为n阶正交矩阵,向量α,求证:|Aα |=|α |-搜答案-智慧作业帮

用正交阵定义验证.经济数学团队帮你解答.请及时评价.

题目应该是哪里抄错了,下面构造例子说明这一点.设2阶矩阵C(t)=[cos(t),sin(t);-sin(t),cos(t)],可知C(t)正交且|C(t)|=1.对n=3,考虑3阶分块矩阵A=[-1

证:因为正交矩阵的行列式是正负1再由|AB|

两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵,正交矩阵的逆仍是正交矩阵.一个n阶矩阵的A行（列）向量可以构成Rn的标准正交基的充要条件是A是正交矩阵.具体的说明,你自己补全下.

正交矩阵定义：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.）或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵对称矩阵A'=A所以A方=E,命题成立

直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E这说明A是正交阵.

证：因为A为正交矩阵,所以A^TA=E(单位矩阵)从而||Aa||=√(Aa)^T(Aa)=√a^TA^TAa=√a^Ta=||a||再问：||a||?==√a^Ta这是为什么再答：不谢，那是公式。

再答：前面点错了，呵呵，敬请谅解再答：再问：再问：这样成立？再答：是的，你利用转置的性质算一算，意外着A是对称矩阵再问：这步还是有点不懂，初学线代，忘老师再说的浅显一点再问：我懂了！谢谢老师再问：又做

(α,β)=β^Tα,(Aα,Aβ)=β^TA^TAα　　显然当A是正交阵的时候(Aα,Aβ)=(α,β)　　反过来,令M=A^TA,M是一个对称阵　　取α=β=e_i得到M(i,i)=1,这里e_i

(Aa,Ab)=(Aa)^T(Ab)=a^TA^TAb=a^Tb=(a,b)由上知(Aa,Aa)=(a,a)所以||Aa||=√(Aa,Aa)=√(a,a)=||a||.

H^TH=(E-2aa^t)^T(E-2aa^t)=(E-2aa^t)(E-2aa^t)=E-2aa^t-2aa^t+4aa^taa^t=E-4aa^t+4a(a^ta)a^t=E-4aa^t+4aa

因为A为正交矩阵所以A^TA=E.所以[Aa1,Aa2]=(Aa1)^T(Aa2)=a1^TA^TAa2=a1^Ta2=[a1,a2]

1、=(Aa1)^T*(Aa2)=(a1)^T*A^T*A*a2=(a1)^T*(a2)=.2、取a2＝a1,由1有||Aa1||^2=||a1||^2.开方得结论.

A为正交阵当且仅当A的逆为正交阵（这个结论应该都讲过,不用证了吧……要证的话也很简单）,A*=|A|乘以A的逆,得证.

证明:因为A=E-2αα^T/(α^Tα)所以A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)所以AA^T=[E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)

||Px||=1,具体展开根据范数的定义再问：我只学过这个三个性质，但似乎都无法用来解这个题：⒈║x║≥0，且║x║=0x=0；⒉║cx║=│c│║x║；⒊║x+y║≤║x║+║y║。而且我这个教材上

因为A是n阶正交矩阵,所以A'A=E||Aα||=√(Aα,Aα)=√(Aα)'(Aα)=√α'A'Aα=√α'Eα=√α'α=||α||

只要借助转置和逆的穿透律以及正交矩阵的定义即可,证明如图

设C=BT*A,其中BT代表B的转置那么C仍是正交阵,且题目表明|C|=-1只要证明存在非零向量x使得(C-I)x=0,就只要证明|C-I|=0即可.而|C-I|=|C-C*CT|=|C|*|I-CT