设A为n阶矩阵,A*=AT,证明A是可逆矩阵-搜答案-智慧作业帮

A为非零矩阵所以A的秩>0假设A不可逆则A的秩=r(A)+r(B)-n可知0=r(|A|E)=r(A*A)>=r(A*)+r(A)-n=r(A*)-1从而r(A*)0从而r(A*)=1于是r(AT)=

用性质,答案是-n.

证:由A*=A^T得AA^T=AA*=|A|E.又A为非零实矩阵,不妨设A的第一行不全为0,考虑A的第一行分别乘A^T的第一列之和,则有|A|=a11^2+a12^2+...+a1n^2≠0所以A可逆

(D)正确.联立方程组Ax=0Bx=0则系数矩阵的秩r(A;B)

AA^*=|A|E说明AA^*的第一行第一列元素等于|A|E的第一行第一列的元素,而|A|E的第一行第一列的元素为|A|,而AA^*的第一行第一列的元为a11^2+a12^2+...+a1n^2,其他

因为A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方所以A*的行列式不为零.则得到（A*)=n再问：我可以再问你几个吗再答：嗯

1.A不可逆|A|=0AA*=|A|E=O假设|A*|≠0则A=O显然A*=O,与假设矛盾,所以|A*|=0即|A*|=|A|n-1=02.A可逆|A|≠0AA*=|A|EA*也可逆又|AA*|=||

知识点:r(A)=1的充要条件是存在n维非零列向量α,β,使得A=αβ^T.所以有A^2=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=(β^Tα)αβ^T=tr(A)A.

按分块矩阵的乘法A^-1[A,E]=[A^-1A,A^-1E]=[E,A^-1].(*)教材中有这样的结论:n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成有限个初等矩阵的乘积.当A可逆时,其逆矩阵A^-1

不是这个稍等再问：额，不是这道题啊再答：这个要借助空间维数定理证明:记w1,w2,w3,w4分别为A,B,A+B,AB的行向量组生成的向量空间易知w3包含在w1+w2中.由维数定理dimw3

有公式：r(A*)=n,当r(A)=n时1,当r(A)=n时0,当r(A)=n时此处,A*=AT,所以r(A*)=r(AT)=r(A)显然是公式中的第一种情况,故A满秩,|A|≠0

如果知道Jordan标准型的话就显然了.如果不知道的话就证明A^{n+1}x=0和A^nx=0同如果A非奇异则显然成立,否则利用n-1>=rank(A)>=rank(A^2)>=...>=rank(A

（结论应该是rank(A)+rank(A-I)=n,否则是错的.例：取A=I,则A^2=I=A,但rank(A)+rank(A+I)=rank(I)+rank(2I)=n+n=2n）证法一：令U={x

R(A)=n时,R(A*)=nR(A)=n-1时,R(A*)=1R(A)

这是一个基本公式,AA*=A*A=|A|E,其中E是单位阵.经济数学团队帮你解答,请及时采纳.

大家都不帮你我来帮你因为AA*=|A|E,两边同时乘A逆,有A*＝|A|A逆,两边同时取行列式,有｜A*｜＝｜|A|A逆｜＝|A|^（N）｜A逆｜又因为｜A逆｜＝｜A｜分之一（这个就不用给你推了吧.A

答:A^TA是正定矩阵.对任一非零n维列向量x,因为r(A)=n,所以AX=0只有零解.所以Ax≠0所以(Ax)^T(Ax)>0即x^TA^TAx>0所以A^TA是正定矩阵.

(A+AT)T=AT+(AT)T=AT+A=A+AT,所以A+AT是对称矩阵

相容范数不小于谱半径,所以充分性显然必要性基于这样一个结论：对于任何给定的方阵A以及正数e,存在一个相容范数使得║A║