设A是m*n矩阵,证明存在m*n非零矩阵B使AB=0的充要条件是|A|=0-搜答案-智慧作业帮

想复杂了,用秩很简单的AA^T是m阶方阵而r(AA^T)

AB的列向量可由A的列向量线性表示所以r(AB)

充分性：因为,R(A)=m存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得PAQ=【Em,0】设D=【Em,0】^T,则PAQD=Em,即AQDP=Em,令B=QDP即可得：AB=Em.充分性得证.必要性已知：

依题意r(A)=r

R（A）和R（B）的秩都小于等于n,而AB是m*m的方阵,m>n,所以AB不是满秩阵,所以|AB|=0

证明:由AB＝0得r(A)+r(B)=1所以r(A)

不知道条件中是否有n>=m,如果是n>=m则可知无论经过怎样化简,不会使得A的某一行或者某一列为0,类似方阵若A不为0,则肯定有逆矩阵,我想这里也是一样

提示：可逆矩阵可以看成若干初等矩阵的乘积.用等价矩阵秩相等去证.

因为A是m*n矩阵,则r(A)

题目有点小错误,B的阶数是mxr,否则不能随便乘取m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q使得A=PDQ,其中D=I_r000取B为P的前r列,C为Q的前r行即可.

因为AB=0r（A）+r（B）=1r（A）

充分性首先r(A,B)>=r(A)这是平凡的r(A,B)=r(A,AX)=r(A*(E,X))

首先,因为(A'A)'=A'(A')'=A'A,所以A'A是对称矩阵.又对任一非零向量X,由于r(A)=n,所以AX≠0.(否则AX=0有非零解)所以X'(A'A)X=(AX)'(AX)>0.所以A'

恐怕你的结论不对,例如：a=[1,2,3;4,5,6];b=a'c=a*b=[2228;4964]|ab|=|c|=det(c)=36!=0.

充分性：若A＝ab^T,由于r(a)=r(b)=1,因此r(A)=1.综上,r(A)=1.必要性：若r(A)=1,则A的列向量组的秩是1,其极大无关组记为a,于是A的列都可以用a线性表出,即存在b1,

这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.证明：A是m×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵100...00010...00001...00...000...00就是左上角是

对任何非0的n维实向量X,由于rank(A)=n,则AX!=0,从而有X^T(A^TA)X=(AX)^T(AX)=|AX|^2>0故A^TA是正定阵

证:对任一n维向量x≠0因为r(A)=n,所以Ax≠0--这是由于AX=0只有零解所以(Ax)'(Ax)>0.即有x'A'Ax>0所以A'A为正定矩阵.注:A'即A^T

证明B是m阶实对称矩阵,则B特征值均为正式实数,且对任意m维向量x,0b1x'x-(b1/am)×amx'x>0,故B-HAH'成为正定矩阵.

高超的问题.G称为A的pseudo-inversematrix.不过一般不是转置而是共役转置(conjugatetranspose),A右上加*.引用Kalman1972年给出的证明.记A的转置为A'