设矩阵A,齐次线性方程组AX=0的基础解系含有2个解向量,求方程组AX=0的通解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/06 12:01:12
只需证明A^TAX=0的解是AX=0的解即可因为A^TAX=0的解是XTATAX=(AX)^T(AX)=0的解令AX=B,则BTB=0,所以B=AX=0证毕!
设B=(B1,B2,.,Bs)AB=A(B1,B2,.,Bs)=(AB1,AB2,.,ABs)=(0,0,.,0)ABi=0所以B的列向量Bi都是AX=0的解.以上过程步步可逆,所以AB=0的充要条件
A为m×n矩阵,∴A有m行n列,且方程组有n个未知数 Ax=0仅有零解⇔A的秩不小于方程组的未知数个数n∵R(A)=n⇔A的列秩=n⇔A的列向量线性无关.矩阵A有n列,∴A的列向量组线性无关
系数矩阵A的秩为n-1,则AX=0的基础解系有n-r(A)=1个向量.再由A的每行的元素之和均为0知(1,1,...,1)'是AX=0的一个非零解.所以AX=0的通解是c(1,1,...,1)',c为
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设B=[b1,b2,……,bs]那么AB=OA[b1,b2,……,bs]=[O,O,……,O]Abi=0,(i=1……s)即bi(i=1,2,...,s)是AX=O的解
齐次线性方程组Ax=0的基础解系有2个解,说明r(A)=3,即A的所有4阶子式都是0.想想A*的定义,就知道A*是0矩阵,故r(A*)=0.
证明:(1)设k1η1+k2(η1-η2)=0,则k1Aη1+k2A(η1-η2)=0已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,因此Aη1=Aη2=b∴k1b=0而b≠0∴k1=0∴k2(
|A|=0证明:设r为n阶矩阵A的秩,当r=n时,齐次线性方程组Ax=0仅有零解.但是n阶非零矩阵B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,所以Ax=0有非零解,则r
|A|=0因为B非零,B的列向量都是AX=0的解,所以AX=0有非零解.所以|A|=0.
将B写成列向量的形式:B=[B1B2...Bs]当AB=0则AB=[AB1AB2...ABs]=0所以ABi=0所以:列向量Bi都是AX=0的解当B的列向量都是AX=0的解时,AB1=0AB2=0..
B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解说明齐次线性方程组Ax=0有非零解,故其系数行列式|A|=0.(n元齐次线性方程组当方程的个数等于未知数的个数时,方程组有非零解的充要
选D.若Ax=b有无穷多个解等价于R(A)=R(A,B)
n-r(A)=4所以r(A)=n-4=9-4=5(D)正确
∵A是n阶的矩阵,∴AX=0和AX=b,含有n个未知数,于是,AX=0基础解系含向量的个数为:n-r(A),又:r(A*)=n,r(A)=n1,r(A)=n−10,0≤r(A)≤n−2,已知:A*≠0
线性方程组AX=0有非零解r(A)
|A|=0B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解所以Ax=0有非零解,所以系数矩阵行列式为0
因为A(b1,b2...bn)=0得R(A)+R(B)0得到R(A)
证明:首先,显然Ax=0的解都是A^2x=0的解.又因为r(A)=r(A^2)所以两个齐次线性方程组的基础解系都含有n-r(A)个解向量故Ax=0的基础解系也是A^2x=0的基础解系所以两个齐次线性方