作业帮内接圆的具有最大面积的n 变形必定是正N变形
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/17 19:19:27
内接圆的具有最大面积的n 变形必定是正N变形
一种直观但不太严格的证法是调整法.
首先容易证明:在△ABC的外接圆上,设M为弧AC(在B的同侧)的中点,
则S△AMC ≥ S△ABC,且等号成立当且仅当B与M重合,即AB = BC.
于是,若一个内接于圆的n边形不等边,考虑其不相等的一对邻边AB,BC.
若取B'为弧AC的中点,则S△AB'C > S△ABC,将n边形的顶点B换为B',可知面积将增大.
这样就证明了:若圆内接n边形不等边,则不能取得面积最大值.
不过严格来说离证明正n边形面积最大还差一点,因为并未证明面积最大值是存在的.
可以用较为细致的逐次调整来严格化,要略微麻烦点.
还有一种证法是用Jensen不等式.
首先可以只考虑圆心在n边形内部的情形.
因为n = 3时,圆内接钝角三角形的钝角边 ≤ 2R,钝角边上的高 ≤ R.
故面积 ≤ R² < 3√3/4·R² = 圆内接正三角形面积.
n ≥ 4时,圆内接正n边形的面积 > 圆面积的一半 = 半圆面积 > 不包含圆心的n边形面积.
设n边形各边所对的圆心角为x1,x2,...,xn.
有x1+x2+...+xn = 2π,0 < xi < π (圆心在n边形内部).
而由圆心与各边构成的等腰三角形面积为1/2·R²sin(x1),1/2·R²sin(x2),...,1/2·R²sin(xn).
n边形面积为1/2·R²·(sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn)).
由sin(x)在(0,π)上的凸性,根据Jensen不等式,
sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn) ≤ n·sin((x1+x2+...+xn)/n) = n·sin(2π/n).
等号成立当且仅当x1 = x2 = ...= xn = 2π/n.
即在正n边形时取得面积最大值.
首先容易证明:在△ABC的外接圆上,设M为弧AC(在B的同侧)的中点,
则S△AMC ≥ S△ABC,且等号成立当且仅当B与M重合,即AB = BC.
于是,若一个内接于圆的n边形不等边,考虑其不相等的一对邻边AB,BC.
若取B'为弧AC的中点,则S△AB'C > S△ABC,将n边形的顶点B换为B',可知面积将增大.
这样就证明了:若圆内接n边形不等边,则不能取得面积最大值.
不过严格来说离证明正n边形面积最大还差一点,因为并未证明面积最大值是存在的.
可以用较为细致的逐次调整来严格化,要略微麻烦点.
还有一种证法是用Jensen不等式.
首先可以只考虑圆心在n边形内部的情形.
因为n = 3时,圆内接钝角三角形的钝角边 ≤ 2R,钝角边上的高 ≤ R.
故面积 ≤ R² < 3√3/4·R² = 圆内接正三角形面积.
n ≥ 4时,圆内接正n边形的面积 > 圆面积的一半 = 半圆面积 > 不包含圆心的n边形面积.
设n边形各边所对的圆心角为x1,x2,...,xn.
有x1+x2+...+xn = 2π,0 < xi < π (圆心在n边形内部).
而由圆心与各边构成的等腰三角形面积为1/2·R²sin(x1),1/2·R²sin(x2),...,1/2·R²sin(xn).
n边形面积为1/2·R²·(sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn)).
由sin(x)在(0,π)上的凸性,根据Jensen不等式,
sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn) ≤ n·sin((x1+x2+...+xn)/n) = n·sin(2π/n).
等号成立当且仅当x1 = x2 = ...= xn = 2π/n.
即在正n边形时取得面积最大值.
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