高一数学数列求和方面问题,急!

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/04 16:43:38

高一数学数列求和方面问题,急!
数列{an}中,an=((-1)^n+4*n)/(2^n),求前n项和Sn
要过程！

∵a[n]=[(-1)^n+4n]/2^n=(-1/2)^n+4n/2^n
∴我们先考察前一项：(-1/2)^n的前n项和T[n]
即：T[n]=(-1/2)^1+(-1/2)^2+...+(-1/2)^n
=(-1/2)[1-(-1/2)^n]/[1-(-1/2)]
=(-1/3)[1-(-1/2)^n]
我们再考察后一项：4n/2^n中n/2^n的前n项和R[n],其中系数4最后再处理
∵R[n]=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+n/2^n
∴R[n]/2=1/2^2+2/2^3+3/2^4+...+(n-1)/2^n+n/2^(n+1)
∴上面两式相减：
R[n]/2=1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^n-n/2^(n+1)
=1/2[(1-1/2^n)/(1-1/2)]-n/2^(n+1)
=1-1/2^n-n/2^(n+1)
=1-(n/2+1)/2^n
∴R[n]=2-(n+2)/2^n
综上所述：
S[n]=T[n]+4R[n]
=(-1/3)[1-(-1/2)^n]+8-4(n+2)/2^n
=23/3+(1/3)(-1/2)^n-4(n+2)/2^n
=23/3+[(1/3)(-1)^n-4(n+2)]/2^n

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