自然数a,b,c,d满足等式ab=cd.求证:k=a^1984+b^1984+c^1984+d^1984是合数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/08/24 22:56:22

假设 a不等于c,b不等于d,否则易证
首先,a与b必定一偶一奇,c与d同理 ,否则易证
设a=2^m * p,c=2^n *q,p与q均为奇数,由ab=cd可以推出m＝n
则两边消去2的幂后,得到pb＝qd
假设p,b互质,则q和d一定一个是p×b,一个是1,不妨设q＝p×b,d＝1,则c＝a×b,则k＝a＾1984＋b＾1984＋（ab）＾1984＋1＝（a＾1984＋1）（b＾1984＋1）是合数
同理q与d互质时易证
假设p,b不互质,q与d不互质,设p,b最大公约数为s,q与d最大公约数为t,则
p＝sp＇,b＝sb＇,q＝tq＇,d＝td＇,其中p＇与b＇互质,q＇与d＇互质
则pb＝qd可以得出s＾2×p＇×b＇＝t＾2×q＇×d＇.如果s和t不互质,则p,b,q,d就有大于1的最大公约数r,那么k必定包含r＾1984这个因子,为合数.若s和t互质,那么由式子s＾2×p＇×b＇＝t＾2×q＇×d＇,s＾2必被q＇×d＇整除,由于q＇和d＇互质,所以只有q＇和d＇一个是s＾2的整数倍,一个是1,同理p＇和b＇一个是t＾2的整数倍,一个是1,那么p＇b＇q＇d＇四个数,必定两个相等,两个是1,带入k仍然易证为合数
再问：能不能用自然数唯一分解定理解题
再答：设a=2^m * p，c=2^n *q，这里算是用到了吧，因为一个正整数表示为2的幂次与奇数乘积，唯一。或者：由于ab=cd，故由质因数分解定理知，存在正整数e、f、g、h，使得c=ef，d=gh，a=eg，b=fh，于是a^1984+b^1984+c^1984+d^1984=（e^942+h^942）（f^942+g^942）所以k为合数

设a,b,c满足ab+bc+cd+da=1,求证：a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d) 均值不等式的题目a,b,c,d是非负实数满足ab+ac+ad+cd=1求证a3/(b+c+d)+b3/(a+c+d)+c 已知：a,b,c,d为自然数,且ab=cd,问：a+b+c+d可否为素数 abcd是实数,ad-bc=1,求证：a+b+c+d+ab+cd≠1 已知,自然数a,b,c,d都可以被 ab-cd整除,且ab-cd>0求证,ab-cd=1 如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么ab 设a,b,c,d是正整数,满足ab=cd,证明a四次方+b四次方+c四次方+d四次方不是素数设a,b,c,d是非零实数,且（a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+d^2)=(ab+bc+cd)^2,求证：a, 实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd＞1,求证：a,b,c,d中至少有一个是负数. 已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1.ac+bd>1,求证：a,b,c,d中至少有一个是负数实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd大于1,求证a,b,c,d中至少有一个是负数知实数a.b.c.d满足a+b=c+d=1.ac+bd>1.求证a.b.c.d中至少有一个是负数