作业帮命题 高中选修2—1数学命题类?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/06 19:54:20
命题 高中选修2—1数学命题类?
已知a∈R,给出下面两个命题：命题p“在x∈[1,2]内,不等式x²＋2ax－2﹥0恒成立”；命题q“f（x）＝x²－4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2”.若p∧q为真,求参数a的取值范围.
已知a∈R,给出下面两个命题：命题p“在x∈[1,2]内,不等式x²＋2ax－2﹥0恒成立”；命题q“f（x）＝x²－4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2”.若p∧q为真,求参数a的取值范围.
p∧q为真,也就说,p,q都是真.
对命题P.在x∈[1,2]内,不等式x²＋2ax－2﹥0恒成立
分析参数法（在恒成立中常常用到）
x²＋2ax－2﹥0,
2ax﹥2-x²
∵x∈[1,2]
a﹥1/x-x/2
所以只要a﹥1/x-x/2在x∈[1,2]恒成立,即a﹥（1/x-x/2）max即可
设g（x）=1/x-x/2,由于g（x）在x∈[1,2]上是减函数.
g（x）max=g（1）=1-1/2=1/2.
所以a﹥1/2.
对命题q.f（x）＝x²－4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2
二次函数的最值,就只能在2个端点和对称轴上取到.
所以（1）当f（-1）=2时,1+4a+4a²﹢2=2,a=-1/2.
此时f（x）=x²+2x﹢3=(x+1)²+2,满足最小值为2,所以a=-1/2
（2）当f（3）=2时,9-12a+4a²﹢2=2,a=3/2.
此时f（x）=x²-6x﹢11=(x-3)²+2,满足最小值为2,所以a=3/2
（3）当f（2a）=2时,4a²-8a²+4a²﹢2=2,0=0,即.a∈R,
此时必须满足2a∈[1,2],即a∈[1/2,1]
综上命题q为真时,a∈[1/2,1]∪{3/2}
所以p∧q为真时,a∈(1/2,1]∪{3/2}
对命题P.在x∈[1,2]内,不等式x²＋2ax－2﹥0恒成立
分析参数法（在恒成立中常常用到）
x²＋2ax－2﹥0,
2ax﹥2-x²
∵x∈[1,2]
a﹥1/x-x/2
所以只要a﹥1/x-x/2在x∈[1,2]恒成立,即a﹥（1/x-x/2）max即可
设g（x）=1/x-x/2,由于g（x）在x∈[1,2]上是减函数.
g（x）max=g（1）=1-1/2=1/2.
所以a﹥1/2.
对命题q.f（x）＝x²－4ax﹢4a²﹢2在区间内[-1,3]上的最小值等于2
二次函数的最值,就只能在2个端点和对称轴上取到.
所以（1）当f（-1）=2时,1+4a+4a²﹢2=2,a=-1/2.
此时f（x）=x²+2x﹢3=(x+1)²+2,满足最小值为2,所以a=-1/2
（2）当f（3）=2时,9-12a+4a²﹢2=2,a=3/2.
此时f（x）=x²-6x﹢11=(x-3)²+2,满足最小值为2,所以a=3/2
（3）当f（2a）=2时,4a²-8a²+4a²﹢2=2,0=0,即.a∈R,
此时必须满足2a∈[1,2],即a∈[1/2,1]
综上命题q为真时,a∈[1/2,1]∪{3/2}
所以p∧q为真时,a∈(1/2,1]∪{3/2}