圆的问题（请在十分钟之内给答案）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/19 03:16:52

圆的问题（请在十分钟之内给答案）
已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8．
（Ⅰ）如图①,若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆,求r1；
（Ⅱ）如图②,若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切,且⊙O1与AC、AB相切,⊙O2与BC、AB相切,求r2；
（Ⅲ）如图③,当n大于2的正整数时,若半径rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切,且⊙O1与AC、BC相切,⊙On与BC、AB相切,⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙On-1均与AB边相切,求rn．

(Ⅰ)连接O1A,O1B,O1C,则:O1到三边的距离均为r1.
S⊿ACO1+S⊿BCO1+S⊿ABO1=S⊿ABC;
则2S⊿ACO1+2S⊿BCO1+2S⊿ABO1=2S⊿ABC;
即:6r1+8r1+10r1=6*8,r1=2.
(Ⅱ)连接O1A,O1O2,O2B,O1C,O2C.设两个小圆半径都为r,⊿ABC中AB上的高为h.
根据面积关系可知:AB*h=AC*BC,10h=6*8,h=4.8;
S⊿ACO1+S⊿BCO2+S梯形ABO2O1+S⊿CO1O2=S⊿ABC;
2S⊿ACO1+S⊿BCO2+S梯形ABO2O1+S⊿CO1O2=S⊿ABC;
即6r+8r+(2r+10)*r+2r*(4.8-r)=6*8; r=48/33.6≈1.43;
(Ⅲ)连接O1A,O1On,O1C,OnB,OnC.设n个小圆的半径都为r.
S⊿ACO1+S⊿BCOn+S梯形ABOnO1+S⊿O1OnC=S⊿ABC;
2S⊿ACO1+2S⊿BCOn+2S梯形ABOnO1+2S⊿O1OnC=2S⊿ABC;
即:6r+8r+[(n*2r-2r)+10]*r+(n*2r-2r)*(4.8-r)=6*8;
r=48/(15.4+9.6n).

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