作业帮数列 (30 20:8:43)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/05 10:15:44
数列 (30 20:8:43)
已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n
（1）求数列{An}的通项公式
（2）求证：数列{An}是递减数列
已知函数f（x）=2^x-2^(-x),数列{An}满足f（logAn/log2）=-2n
（1）求数列{An}的通项公式
（2）求证：数列{An}是递减数列
依题意得：
2^（logAn/log2）+2^（-logAn/log2)=-2n
由换底公式可得logAn/log2=log2(An)（2为底,An为真数）
设log2(An)=x
由对数的定义可知2^x=An
把log2(An)=x代入第一个式子中可得：
2^x+2^(-x)=-2n
又因为2^x=An
所以An+1/An=-2n
两边同时乘以An,得An^2+2nAn-1=0
由求根公式可得An=-n±√(n^2+1)
但是因为logAn有意义,所以An大于0
所以An=-n+√(n^2+1)
此为An的通项公式
（2）
由（1）知An=-n+√(n^2+1)
现构造函数f(n),使得f(n)=-n+√(n^2+1)
对f(n)求导可得f'(n)=n/(√(n^2+1))-1
因为n/(√(n^2+1))
2^（logAn/log2）+2^（-logAn/log2)=-2n
由换底公式可得logAn/log2=log2(An)（2为底,An为真数）
设log2(An)=x
由对数的定义可知2^x=An
把log2(An)=x代入第一个式子中可得：
2^x+2^(-x)=-2n
又因为2^x=An
所以An+1/An=-2n
两边同时乘以An,得An^2+2nAn-1=0
由求根公式可得An=-n±√(n^2+1)
但是因为logAn有意义,所以An大于0
所以An=-n+√(n^2+1)
此为An的通项公式
（2）
由（1）知An=-n+√(n^2+1)
现构造函数f(n),使得f(n)=-n+√(n^2+1)
对f(n)求导可得f'(n)=n/(√(n^2+1))-1
因为n/(√(n^2+1))