作业帮3次均值不等式配方证明 如二次由（a+b)^2>=0得到a+b>=2根号ab
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/09 10:37:45
3次均值不等式配方证明 如二次由（a+b)^2>=0得到a+b>=2根号ab
我记得其实标准的证明也算是配方吧?
对x,y,z > 0有
x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = (x+y+z)((x-y)²+(y-z)²+(z-x)²)/2 ≥ 0.
即x³+y³+z³ ≥ 3xyz.
对a,b,c > 0,取x = a^(1/3),y = b^(1/3),z = c^(1/3)即得a+b+c ≥ 3(abc)^(1/3).
如果非要展开(a+b+c)³-27abc也可以,分成以下几个不等式:
a³+b³+c³-3abc ≥ 0,
3a²b+3bc² ≥ 6abc,即3b(a-c)² ≥ 0,
3b²c+3ca² ≥ 6abc,即3c(b-a)² ≥ 0,
3c²a+3ab² ≥ 6abc,即3a(c-b)² ≥ 0.
加起来就是(a+b+c)³-27abc ≥ 0.
对x,y,z > 0有
x³+y³+z³-3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx) = (x+y+z)((x-y)²+(y-z)²+(z-x)²)/2 ≥ 0.
即x³+y³+z³ ≥ 3xyz.
对a,b,c > 0,取x = a^(1/3),y = b^(1/3),z = c^(1/3)即得a+b+c ≥ 3(abc)^(1/3).
如果非要展开(a+b+c)³-27abc也可以,分成以下几个不等式:
a³+b³+c³-3abc ≥ 0,
3a²b+3bc² ≥ 6abc,即3b(a-c)² ≥ 0,
3b²c+3ca² ≥ 6abc,即3c(b-a)² ≥ 0,
3c²a+3ab² ≥ 6abc,即3a(c-b)² ≥ 0.
加起来就是(a+b+c)³-27abc ≥ 0.
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证明a+b>= 2根号ab
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