（2012•北塘区一模）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/14 21:43:31

（2012•北塘区一模）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为______；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为

（0，

（1）如图（1），∵OB=4，延CD折叠后使点B与点O重合，
∴OC=BC=
1
2OB=2，
∴C的坐标是（0，2），
如图（2）连接AC，
∵OB=4，延CD折叠后使点B与点A重合，
∴BC=AC，
设OC=a，则AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC²+OA²=AC²，
a²+2²=（4-a）²，
解得：a=
3
2，
即C（0，
3
2），
故答案为：（0，2），（0，
3
2）．
（2）如图（3）连接B′C，
∵延CD折叠后使点B与点B′重合，
∴BC=B′C=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理得：OC²+OB′²=B′C²，
y²+x²=（4-y）²，
即y=-
1
8x²+2，y的取值范围是
3
2≤y≤2．
（3）如图（4）
∵若折痕经过点O（C和O重合），点B落在x轴上的点B′，
∴OB=OB′=4，
即B′的坐标是（4，0）．
（4）如图（5）连接B′C，
设OB′=x，OC=y，
∵延CD折叠B和B′重合，
∴BC=B′C，BD=B′D，
∴∠CBB′=∠CB′B，∠DBB′=∠DB′B，
∵B′D⊥OA，∠AOB=90°，
∴B′D∥OB，
∴∠CBB′=∠BB′D，
∴∠CBB′=∠B′BD，
∴B′C∥BD，
∴△OB′C∽△OAB，
∴
OB′
OA=
OC
OB，
∴
x
2=
y
4，
即y=2x，
∴OB′=x，OC=2x，BC=4-2x=B′C，
在Rt△COB′中，由勾股定理得：x²+（2x）²=（4-2x）²，
∵x为边长，
∴x＞0，
解方程得：x=4
5-8，2x=-16+8
5，
∴C的坐标是（0，-16+8
5）．

（1）根据对折得出OC=BC，根据OB=4求出即可；连接AC，推出BC=AC，设OC=a，则AC=BC=4-a，在Rt△ACO中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）连接B′C，得出BC=B′C=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理得出方程y²+x²=（4-y）²，由（1）即可得出x的范围，求出即可；
（3）根据已知得出BO=B′O，即可得出答案；
（4）连接B′C，设OB′=x，OC=y，求出B′C∥BD，推出△OB′C∽△OAB，得出

OB′

，求出y=2x，在Rt△COB′中，由勾股定理得出x²+（2x）²=（4-2x）²，求出x即可．