已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 08:39:51

已知△ABC中,∠BAC=90°,O是BC的中点,S是△ABC所在平面外一点,且△SAB,△SAC是等边三角形,（1）证明：
（1）证明：SO⊥平面ABC （2）求二面角A-SC-B的余弦值

（1）
证明：
因为SAB和SAC是等边三角形,所以SB=SA=AB,且SA=SC=AC
因此SA=SB=SC=AB=AC,假设他们的长度都是a.
因为SB=SC,所以三角形SBC是等腰三角形,SO是底边BC的中线,所以SO垂直平分BC,SO=(根号2)/2 * a
又在直角三角形ABC中,AB=AC=a,所以斜边中线AO = (根号2)/2 * a
在三角形ASO中,SA=a,SO=AO=(根号2)/2 * a
有SA^2 = SO^2 + AO^2
所以角SOA= 90度,即SO垂直AO.
因为SO同时垂直AO和BC,所以SO垂直平面ABC
(2)
取SC的中点P,连接AP和OP,则因为AS=AC,AP是底边的中线,所以AP垂直SC.
又在三角形SBC中,SB=SC=a,BC=(根号2)*a,所以角BSC是90度,即BS垂直SC.
而OP是中位线,所以OP//SB,即OP垂直SC.
所以二面角A-SC-B的夹角就是角APO.
在三角形APO中,AP = (根号3)/2 * a,OP = 1/2 * SB = 1/2 * a,AO = (根号2)/2 * a
所以根据
AP^2 + PO^2 - 2 * AP * PO * cosAPO = AO^2
所以cosAPO = (3/4 + 1/4 - 1/2) / (2 * (根号3)/2 * 1/2)
= 1 / 根号3 = (根号3) / 3

在三棱锥S—ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形.∠BAC=90°,O为BC中点,求证SO⊥平面ABC 已知在三棱锥S-ABC中,P,Q分别是△SAC和△SAB的重心,则BC与平面APQ的位置关系是求数学帝回答在三棱锥S-ABC中,已知AB=AC O是BC的中点,平面SAO⊥平面ABC求证:角SAB=角SAC S为△ABC所在的平面外一点,SA=SB=SC,且∠ABC=90度,求证:平面SAC⊥平面ABC 如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,G为△SAB中边AB上一点,D、E、F分别是AC、在三棱锥S-ABC中,E,F,G分别是△SBC,△SAC,△SAB的重心.求证：平面EFG//平面ABC 已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA+OB+OC=0（都为向量）,那么在△ABC中，∠BAC=90°，P为△ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，则平面PBC与平面ABC的关系是____ 二面角某道题.如图所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一点,且SA=SB=SC,SG为△SAB上的高,D、E、F分别 P是Rt△ABC所在平面外的一点,O是斜边AC的中点,且PA=PB=PC,求证：PO⊥平面ABC 已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA+向量OB+向量OC=零向量,那么向量AO=? 已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA+向量OB+向量OC=零向量,那么