【数学高手出招】证明:周长一定的凸多边形中以正多边形的面积最大
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/03 11:33:22
【数学高手出招】证明:周长一定的凸多边形中以正多边形的面积最大
若会高等数学 可以用如下方式证
1任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2有一个顶点在原点的一个凸n边形(包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定 所以可以看成2n-2维空间中一点 周长一定的情况下
这些点组成的集合石 2n-2为空间中的一个紧集.
3面积是这个空间中的连续函数 所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大 设为S.
4若S有2相邻边不相等 则设为AB,BC 则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC 则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则 将B换为B1 得多边形S1 有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S 与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5S的每条边相等 存在S1为正n边形 与S边长相等.则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形 在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积 所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积 则S1面积>=S面积 故得证.
1任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2有一个顶点在原点的一个凸n边形(包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定 所以可以看成2n-2维空间中一点 周长一定的情况下
这些点组成的集合石 2n-2为空间中的一个紧集.
3面积是这个空间中的连续函数 所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大 设为S.
4若S有2相邻边不相等 则设为AB,BC 则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC 则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则 将B换为B1 得多边形S1 有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S 与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5S的每条边相等 存在S1为正n边形 与S边长相等.则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形 在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积 所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积 则S1面积>=S面积 故得证.
在平面几何中,我们可以证明:周长一定的多边形中,正多边形面积最大.使用上边的事实,解答下面的问题:
证明:在周长一定的三角形中,等腰直角三角形的面积最大
证明:在所有周长一定的四边形中,正方形的面积最大.
证明:在所有周长一定的四边形中,正方形的面积最大.
怎样证明周长一定的闭合图形面积最大的是圆
如何证明周长一定的几何图形当为圆时面积最大?
如何证明圆的内接正多边形的边数越多,内接正多边形的周长越大
证明,周长相等的任意图形中,圆的面积最大
正多边形的面积是240 周长60 则边心距是多少
已知某正多边形周长为51厘米 边心距为7CM 求正多边形的面积
怎么证明周长相等的三角形,等边三角形面积最大?
正多边形的周长 怎么算?