作业帮已知△ABC的三边长都是有理数．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/18 22:19:25
已知△ABC的三边长都是有理数．
（1）求证cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．
（1）求证cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．
（1）证明：设三边长分别为a，b，c，cosA=
b2+c2-a2
2bc，
∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴
b2+c2-a2
2bc必为有理数，
∴cosA是有理数．
（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；
当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；
②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．
当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A=coskAcosA-
1
2[cos(kA-A)-cos(kA+A)]，cos(k+1)A=coskAcosA-
1
2cos(k-1)A+
1
2cos(k+1)A，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数．
即当n=k+1时，结论成立．
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．
b2+c2-a2
2bc，
∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴
b2+c2-a2
2bc必为有理数，
∴cosA是有理数．
（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；
当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；
②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．
当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，cos(k+1)A=coskAcosA-
1
2[cos(kA-A)-cos(kA+A)]，cos(k+1)A=coskAcosA-
1
2cos(k-1)A+
1
2cos(k+1)A，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数．
即当n=k+1时，结论成立．
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．
已知三角形ABC三边的长abc都是整数,且a
已知三边长abc都是整数,并且a≤b
已知a,b,c是△ABC的三边长
在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD⊥AB与D,已知△ABC的三边长都是整数,且BD=113
已知a、b、c为△ABC三边的长．
已知abc分别是三角形abc的三边长,判断
已知△ABC的三边为有理数.1）求证cosA是有理数,（2）求对任意正整数n,求证cosnA也是有理数.
已知△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为2
已知△ABC中,三边长a,b,c都是正整数,且满足a大于b大于c,a=8,满足条件的三角形共有多少个?
已知△ABC三边长a、b、c都是整数,且满足a>b>c,a=7.问:满足条件的三角形共有多少个?
已知△ABC三边a,b,c的长都是整数,且a≤b≤c,如果b=m（m∈N*）,则这样的三角形共有个（用m表示）．
已知直角三角形ABC的三边长为a,b,c