作业帮世界著名的数学难题中有没有有关尺规作图的?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 01:43:37
世界著名的数学难题中有没有有关尺规作图的?
有
如何用尺规做出正17边形
这个课题由高斯解决了
至于怎么做的我找了篇文
有兴趣可以看一下
图在这里
高斯的正17边形
1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.
前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.
他感到非常吃力.时间一分一秒地过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.
当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.”
导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.
青年很快做出了一个正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!”
原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.
每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难道,我可能永远也没有信心将它解出来.”
这位青年就是数学王子高斯.
启示:
有些事情,在不清楚它到底有多难时,我们往往能够做得更好!由此看来,真正的困难并不是困难本身,而是我们对困难的畏惧.
---------------------------------------------
正17边形的高斯做法
做正17边形
等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.+x+1)=f(x)(x-1)=0的根
注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i
根据韦达定理,16个根的和为x^15项的系数乘-1
第一步,把16个根分成两组∑1和∑2
∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)
∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)
(这里用下划线表示共扼根)
注意∑1+∑2=-1（韦达定理）
而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）
于是根据韦达定理,∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;
第二步,把∑1分成两组,
∑11=(e1+e8)+(e1+e8)
∑12=(e2+e4)+(e2+e4)
注意∑11+∑12=∑1
而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）
因为∑1和∑2在前面已经解出
所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)
下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8
∑111+∑112=∑11
∑111*∑112=∑12
同样可用韦达定理解出;
最后就简单了
∑111=e1+e1 而e1*e1 =1
所以就可利用韦达定理解出e1来了!
------------------------------------------------------
将你要画的正17边形的边长为d,它的外接圆的半径为R.
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；
然后从圆心作出一条垂线到边上,就能得出一个直角三角形,圆心的那个角是圆心角的一半,即360度/(17*2),对边是d/2,斜边是R,所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
最后,根据该公式,如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形,则把d=1代入公式,得出R的值.
1、先画一个R半径的圆；
2、用圆规支脚支在圆周的一个点上,取d为半径,交圆周于一点,然后把这两点连起来,就是17边形的一条边了；
3、如此类推,把17条边画完就是一个正17边形了
如何用尺规做出正17边形
这个课题由高斯解决了
至于怎么做的我找了篇文
有兴趣可以看一下
图在这里
高斯的正17边形
1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.
前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.
他感到非常吃力.时间一分一秒地过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.
当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.”
导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.
青年很快做出了一个正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!”
原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.
每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难道,我可能永远也没有信心将它解出来.”
这位青年就是数学王子高斯.
启示:
有些事情,在不清楚它到底有多难时,我们往往能够做得更好!由此看来,真正的困难并不是困难本身,而是我们对困难的畏惧.
---------------------------------------------
正17边形的高斯做法
做正17边形
等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.+x+1)=f(x)(x-1)=0的根
注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i
根据韦达定理,16个根的和为x^15项的系数乘-1
第一步,把16个根分成两组∑1和∑2
∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)
∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)
(这里用下划线表示共扼根)
注意∑1+∑2=-1（韦达定理）
而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）
于是根据韦达定理,∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;
第二步,把∑1分成两组,
∑11=(e1+e8)+(e1+e8)
∑12=(e2+e4)+(e2+e4)
注意∑11+∑12=∑1
而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）
因为∑1和∑2在前面已经解出
所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)
下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8
∑111+∑112=∑11
∑111*∑112=∑12
同样可用韦达定理解出;
最后就简单了
∑111=e1+e1 而e1*e1 =1
所以就可利用韦达定理解出e1来了!
------------------------------------------------------
将你要画的正17边形的边长为d,它的外接圆的半径为R.
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；
然后从圆心作出一条垂线到边上,就能得出一个直角三角形,圆心的那个角是圆心角的一半,即360度/(17*2),对边是d/2,斜边是R,所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
最后,根据该公式,如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形,则把d=1代入公式,得出R的值.
1、先画一个R半径的圆；
2、用圆规支脚支在圆周的一个点上,取d为半径,交圆周于一点,然后把这两点连起来,就是17边形的一条边了；
3、如此类推,把17条边画完就是一个正17边形了