如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=根号7,∠BAD=

如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=根号7,∠BAD=120°
E在棱SD上（I）当SE=3ED时．求证：SD⊥平面AEC；（2）当二面角S-AC-E的大小为30°时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值
用向量法建立空间直角坐标系来做.

第一个问题：
∵ABCD是平行四边形,∴∠BAD＋∠ADC＝180°、CD＝AB＝2,又∠BAD＝120°,
∴∠ADC＝60°.
由CD＝2、AD＝1、∠ADC＝60°,得：AD⊥AC,而SA⊥平面ABCD.
于是：
以A为原点、AC所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AS所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点C、D、S依次落在x轴、y轴、z轴的正半轴上.
∵AD＝1,∴点A、D的坐标分别是（0,0,0）、（0,1,0）.
∵AD⊥AC、AD＝1、CD＝2,∴AC＝√3.
∴点C的坐标是（√3,0,0）,点B的坐标是（√3,－1,0）.
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,又SB＝√7、AB＝2,
∴由勾股定理,有：SA＝√（SB^2－AB^2）＝√（7－4）＝√3.
∴点S的坐标是（0,0,√3）.
由上述各点坐标,得：
向量SD＝（0,1,－√3）、向量SA＝（0,0,－√3）、向量AC＝（√3,0,0）.
∵SE＝3ED,∴3SE＋SE＝3SE＋3ED＝3SD,∴SE＝（3/4）SD,
∴向量SE＝（3/4）向量SD＝（0,3/4,－3√3/4）.
∴向量AE＝向量SE－向量SA＝（0,3/4,√3/4）.
∴向量SD·向量AE＝0＋1×（3/4）＋（－√3）×（√3/4）＝0,∴向量SD⊥向量AE,∴SD⊥AE.
　向量SD·向量AC＝0＋0＋0＝0,∴向量SD⊥向量AC,∴SD⊥AC.
由SD⊥AE、SD⊥AC、AE∩AC＝A,得：SD⊥平面AEC.
第二个问题：
显然有：AC⊥平面SAD,而AE在平面SAD上,∴AE⊥AC、SA⊥AC,
∴∠SAE是二面角S－AC－E的平面角,∴∠SAE＝30°,∴∠DAE＝60°.
由SA＝√3、AD＝1、SA⊥AD,得：∠ASD＝30°、∠ADE＝60°.
由∠SAE＝∠ASD＝30°,得：SE＝AE.　由∠DAE＝∠ADE＝60°,得：DE＝AE.
∴SE＝DE,∴E是SD的中点,∴向量SE＝（1/2）向量SD＝（0,1/2,－√3/2）.
∴向量AE＝向量SE－向量SA＝（0,1/2,－3√3/2）.
令F（a,b,c）是点A在平面CDE上的射影,得：∠AEF就是AE与平面CDE所成的角.
显然有：向量AF＝（a,b,c）.
∵E是SD的中点,∴向量ED＝向量SE＝（0,1/2,－√3/2）.
由C、D的坐标,得：向量CD＝（－√3,1,0）.
∵F是A在平面CDE上的射影,∴AF⊥CD、AF⊥DE、AF⊥CE.
∴向量AF·向量CD＝0、向量AF·向量ED＝0.
由向量AF·向量CD＝0,得：－√3a＋b＋0＝0,∴b＝√3a.
由向量AF·向量ED＝0,得：0＋（1/2）b－（√3/2）c＝0,∴b＝√3c.
而由b＝√3a、b＝√3c,得：c＝a.
∴点F的坐标可写成（a,√3a,a）.
∵E是SD的中点,∴由中点坐标公式,得：点E的坐标是（0,1/2,√3/2）.
∴向量EF＝（a,√3a－1/2,a－√3/2）,向量AF＝（a,√3a,a）.
显然有AF⊥EF,∴向量AF·向量EF＝0,∴a^2＋3a^2－√3a/2＋a^2－√3a/2＝0.
∵∠ADC＝60°,∴CD与平面SAD不垂直,∴由AF⊥CD,得：点F不可能在平面SAD上,
∴a不为0,∴a＋3a－√3/2－√3/2＝0,∴4a＝√3,∴a＝√3/4.
∴√3a－1/2＝3/4－1/2＝1/4、a－√3/2＝√3/4－√3/2＝－√3/4.
∴向量EF＝（√3/4,1/4,－√3/4）.
∴向量AE·向量EF＝0＋1/8＋9/8＝5/4.
　｜向量AE｜＝√（0＋1/4＋27/4）＝√7、｜向量EF｜＝√（3/16＋1/16＋3/16）＝√7/4.
∴cos∠AEF＝向量AE·向量EF/（｜向量AE｜｜向量EF｜）＝（5/4）/［√7×（√7/4）］＝5/7,
∴sin∠AEF＝√［1－（cos∠AEF）^2］＝√（1－25/49）＝2√6/7.
∴AE与平面CDE所成角的正弦值为 2√6/7.