如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=根号7,∠BAD=
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/29 13:10:31
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA⊥平面ABCD,AB=2,AD=1,SB=根号7,∠BAD=120°
E在棱SD上(I)当SE=3ED时.求证:SD⊥平面AEC;(2)当二面角S-AC-E的大小为30°时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值
用向量法建立空间直角坐标系来做.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/12/9123ffbbf6066e2273b6cd04f953a207.jpg)
E在棱SD上(I)当SE=3ED时.求证:SD⊥平面AEC;(2)当二面角S-AC-E的大小为30°时,求直线AE与平面CDE所成角的正弦值
用向量法建立空间直角坐标系来做.
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第一个问题:
∵ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ADC=180°、CD=AB=2,又∠BAD=120°,
∴∠ADC=60°.
由CD=2、AD=1、∠ADC=60°,得:AD⊥AC,而SA⊥平面ABCD.
于是:
以A为原点、AC所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AS所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点C、D、S依次落在x轴、y轴、z轴的正半轴上.
∵AD=1,∴点A、D的坐标分别是(0,0,0)、(0,1,0).
∵AD⊥AC、AD=1、CD=2,∴AC=√3.
∴点C的坐标是(√3,0,0),点B的坐标是(√3,-1,0).
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,又SB=√7、AB=2,
∴由勾股定理,有:SA=√(SB^2-AB^2)=√(7-4)=√3.
∴点S的坐标是(0,0,√3).
由上述各点坐标,得:
向量SD=(0,1,-√3)、向量SA=(0,0,-√3)、向量AC=(√3,0,0).
∵SE=3ED,∴3SE+SE=3SE+3ED=3SD,∴SE=(3/4)SD,
∴向量SE=(3/4)向量SD=(0,3/4,-3√3/4).
∴向量AE=向量SE-向量SA=(0,3/4,√3/4).
∴向量SD·向量AE=0+1×(3/4)+(-√3)×(√3/4)=0,∴向量SD⊥向量AE,∴SD⊥AE.
向量SD·向量AC=0+0+0=0,∴向量SD⊥向量AC,∴SD⊥AC.
由SD⊥AE、SD⊥AC、AE∩AC=A,得:SD⊥平面AEC.
第二个问题:
显然有:AC⊥平面SAD,而AE在平面SAD上,∴AE⊥AC、SA⊥AC,
∴∠SAE是二面角S-AC-E的平面角,∴∠SAE=30°,∴∠DAE=60°.
由SA=√3、AD=1、SA⊥AD,得:∠ASD=30°、∠ADE=60°.
由∠SAE=∠ASD=30°,得:SE=AE. 由∠DAE=∠ADE=60°,得:DE=AE.
∴SE=DE,∴E是SD的中点,∴向量SE=(1/2)向量SD=(0,1/2,-√3/2).
∴向量AE=向量SE-向量SA=(0,1/2,-3√3/2).
令F(a,b,c)是点A在平面CDE上的射影,得:∠AEF就是AE与平面CDE所成的角.
显然有:向量AF=(a,b,c).
∵E是SD的中点,∴向量ED=向量SE=(0,1/2,-√3/2).
由C、D的坐标,得:向量CD=(-√3,1,0).
∵F是A在平面CDE上的射影,∴AF⊥CD、AF⊥DE、AF⊥CE.
∴向量AF·向量CD=0、向量AF·向量ED=0.
由向量AF·向量CD=0,得:-√3a+b+0=0,∴b=√3a.
由向量AF·向量ED=0,得:0+(1/2)b-(√3/2)c=0,∴b=√3c.
而由b=√3a、b=√3c,得:c=a.
∴点F的坐标可写成(a,√3a,a).
∵E是SD的中点,∴由中点坐标公式,得:点E的坐标是(0,1/2,√3/2).
∴向量EF=(a,√3a-1/2,a-√3/2),向量AF=(a,√3a,a).
显然有AF⊥EF,∴向量AF·向量EF=0,∴a^2+3a^2-√3a/2+a^2-√3a/2=0.
∵∠ADC=60°,∴CD与平面SAD不垂直,∴由AF⊥CD,得:点F不可能在平面SAD上,
∴a不为0,∴a+3a-√3/2-√3/2=0,∴4a=√3,∴a=√3/4.
∴√3a-1/2=3/4-1/2=1/4、a-√3/2=√3/4-√3/2=-√3/4.
∴向量EF=(√3/4,1/4,-√3/4).
∴向量AE·向量EF=0+1/8+9/8=5/4.
|向量AE|=√(0+1/4+27/4)=√7、|向量EF|=√(3/16+1/16+3/16)=√7/4.
∴cos∠AEF=向量AE·向量EF/(|向量AE||向量EF|)=(5/4)/[√7×(√7/4)]=5/7,
∴sin∠AEF=√[1-(cos∠AEF)^2]=√(1-25/49)=2√6/7.
∴AE与平面CDE所成角的正弦值为 2√6/7.
∵ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ADC=180°、CD=AB=2,又∠BAD=120°,
∴∠ADC=60°.
由CD=2、AD=1、∠ADC=60°,得:AD⊥AC,而SA⊥平面ABCD.
于是:
以A为原点、AC所在直线为x轴、AD所在直线为y轴、AS所在直线为z轴建立空间直角坐标系,并使点C、D、S依次落在x轴、y轴、z轴的正半轴上.
∵AD=1,∴点A、D的坐标分别是(0,0,0)、(0,1,0).
∵AD⊥AC、AD=1、CD=2,∴AC=√3.
∴点C的坐标是(√3,0,0),点B的坐标是(√3,-1,0).
∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AB,又SB=√7、AB=2,
∴由勾股定理,有:SA=√(SB^2-AB^2)=√(7-4)=√3.
∴点S的坐标是(0,0,√3).
由上述各点坐标,得:
向量SD=(0,1,-√3)、向量SA=(0,0,-√3)、向量AC=(√3,0,0).
∵SE=3ED,∴3SE+SE=3SE+3ED=3SD,∴SE=(3/4)SD,
∴向量SE=(3/4)向量SD=(0,3/4,-3√3/4).
∴向量AE=向量SE-向量SA=(0,3/4,√3/4).
∴向量SD·向量AE=0+1×(3/4)+(-√3)×(√3/4)=0,∴向量SD⊥向量AE,∴SD⊥AE.
向量SD·向量AC=0+0+0=0,∴向量SD⊥向量AC,∴SD⊥AC.
由SD⊥AE、SD⊥AC、AE∩AC=A,得:SD⊥平面AEC.
第二个问题:
显然有:AC⊥平面SAD,而AE在平面SAD上,∴AE⊥AC、SA⊥AC,
∴∠SAE是二面角S-AC-E的平面角,∴∠SAE=30°,∴∠DAE=60°.
由SA=√3、AD=1、SA⊥AD,得:∠ASD=30°、∠ADE=60°.
由∠SAE=∠ASD=30°,得:SE=AE. 由∠DAE=∠ADE=60°,得:DE=AE.
∴SE=DE,∴E是SD的中点,∴向量SE=(1/2)向量SD=(0,1/2,-√3/2).
∴向量AE=向量SE-向量SA=(0,1/2,-3√3/2).
令F(a,b,c)是点A在平面CDE上的射影,得:∠AEF就是AE与平面CDE所成的角.
显然有:向量AF=(a,b,c).
∵E是SD的中点,∴向量ED=向量SE=(0,1/2,-√3/2).
由C、D的坐标,得:向量CD=(-√3,1,0).
∵F是A在平面CDE上的射影,∴AF⊥CD、AF⊥DE、AF⊥CE.
∴向量AF·向量CD=0、向量AF·向量ED=0.
由向量AF·向量CD=0,得:-√3a+b+0=0,∴b=√3a.
由向量AF·向量ED=0,得:0+(1/2)b-(√3/2)c=0,∴b=√3c.
而由b=√3a、b=√3c,得:c=a.
∴点F的坐标可写成(a,√3a,a).
∵E是SD的中点,∴由中点坐标公式,得:点E的坐标是(0,1/2,√3/2).
∴向量EF=(a,√3a-1/2,a-√3/2),向量AF=(a,√3a,a).
显然有AF⊥EF,∴向量AF·向量EF=0,∴a^2+3a^2-√3a/2+a^2-√3a/2=0.
∵∠ADC=60°,∴CD与平面SAD不垂直,∴由AF⊥CD,得:点F不可能在平面SAD上,
∴a不为0,∴a+3a-√3/2-√3/2=0,∴4a=√3,∴a=√3/4.
∴√3a-1/2=3/4-1/2=1/4、a-√3/2=√3/4-√3/2=-√3/4.
∴向量EF=(√3/4,1/4,-√3/4).
∴向量AE·向量EF=0+1/8+9/8=5/4.
|向量AE|=√(0+1/4+27/4)=√7、|向量EF|=√(3/16+1/16+3/16)=√7/4.
∴cos∠AEF=向量AE·向量EF/(|向量AE||向量EF|)=(5/4)/[√7×(√7/4)]=5/7,
∴sin∠AEF=√[1-(cos∠AEF)^2]=√(1-25/49)=2√6/7.
∴AE与平面CDE所成角的正弦值为 2√6/7.
在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,SA垂直平面ABCD,SA=AB=2,AD=1,角BAD=120度,E
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,∠ABC=45°,SA=SB,证明:S
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=SB,点E为AB的中点,点F为SC的中点
已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=根号3,AB=1.AD=2.∠BAD=1
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:P
如图在四棱锥s-ABCD中,SA⊥平面ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,角ABC=90°
四棱锥P-ABCD中底面ABCD是平行四边形PA⊥平面ABCD.PA=根号3AB=1AD=2∠BAD=120°E,G,H
如图,在四棱锥S-ABCD种中,底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,侧棱SA⊥底面ABCD且SA=2,AD=D
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2
如图,在四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,SB=SD=22,底面ABCD是菱形,
四棱锥S-ABCD中、底面ABCD为平行四边形、侧面SBC垂直底面ABCD、已知角ABC为45度、SA=SB、求证SA=
已知在四棱锥P–ABCD中,底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=√3,AB=1,AD=2,∠BAD=12