已知函数f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x（其中a为常数）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/13 18:34:57

已知函数f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x（其中a为常数）
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值，并写出函数y=f（x）的单调区间；
（2）求方程f（x）-g（x）=0在区间[-1，3]上实数解的个数．

（本小题满分13分）
（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
则f'（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），…（1分）
令f'（x）=0，得x=a或
a
3，而二次函数g（x）在x＝
a−1
2处有极大值，
∴
a−1
2＝a⇒a＝−1或
a−1
2＝
a
3⇒a＝3；
综上：a=3或a=-1．…（4分）
当a=3时，y=f（x）的单调增区间是（-∞，1]，[3，+∞），减区间是（1，3）…（5分）
当a=-1时，y=f（x）的单调增区间是(−∞，−1]， [−
1
3，+∞)，减区间是(−1，−
1
3)； …（6分）
（2）f(x)−g(x)＝x(x−a)2−[−
x2 +(a−1)x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=(x−a)[
x2 +(1−a)x+1]，…（8分）
h(x)＝
x2 +(1−a)x+1，△=（a+1）（a-3）
1°当-1＜a＜3时，△＜0，h（x）=0无解，故原方程的解为x=a∈[-1，3]，满足题意，
即原方程有一解，x=a∈[-1，3]； …（9分）
2°当a=3时，△=0，h（x）=0的解为x=1，故原方程有两解，x=1，3；
3°当a=-1时，△=0，h（x）=0的解为x=-1，故原方程有一解，x=-1；
4°当a＞3时，△＞0，由于h（-1）=a+1＞4，h（0）=1，h（3）=13-3a
若13−3a≤0⇒a≥
13
3时，h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解；
若13−3a＞0⇒3＜a＜
13
3时，h（x）=0在[-1，3]上无解，故原方程有无解；
5°当a＜-1时，△＞0，由于h（-1）=a+1＜0，h（0）=1，h（3）=13-3a＞0，
h（x）=0在[-1，3]上有一解，故原方程有一解； …（11分）
综上可得：当3＜a＜
13
3时，原方程在[-1，3]上无解；当a＜3或a≥
13
3时，原方程在[-1，3]上有一解；当a=3时，原方程在[-1，3]上有两解．…（13分）

已知函数f(x)=lnx-（a/x）,g(x)=e^x(ax+1),a为常数设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a,g（x）=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f（x）与y= 已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a(a为常数）急. 已知函数f(x)=log2(x+x/a)为奇函数（a为常数）且x>0时g(x)=f(x),求当x 已知函数f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常数．已知函数f(x)=1/2x2+alnx,g(x)=(a+1)x(a≠-1),H(x）=f（x）-g(x). 已知函数f(x)=x(x-a)^2,g(x)=-x^2+(a-1)x+a(其中a为常数) 已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x属于R,a,b为常数,则方程f（ax+b）的解集为已知函数f(x)=(x²-2x+a)/x,x∈（0,2],其中常数a＞0,求函数f（x）的最小值已知函数f(x)=ax^2-x+2a-1（a为实常数）已知函数f(x)=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）已知函数f(x)=x*lnx,g(x)=lnx+2x-6.(1)求f(x)在(0,a]（其中a为大于0的常数）上的最小值