关于费马点的题目若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 11:39:29

关于费马点的题目
若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;
(2)如图5,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′,连结BB′.
求证:BB′过的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.
何得4点共圆？

对不起,刚刚第一题漏了.
以B为顶点,往BC边外旋转BPC 60度得到BDE,根据费马点的定义,以及旋转,有：
1) ∠APB=120度
2) ∠BDE=∠BPC=120度
3) A、P、D、E四点共线
4) △BPD是等边三角形
5) ∠CBE=60度
因为∠ABC=60度,所以
6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度
根据4)、6)有：
7) ∠ABP + ∠DBE=60度
因为∠ABP + ∠BAP=60度,所以
8) ∠DBE=∠BAP
由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE,于是AP/BP=BD/DE=BP/CP
从而BP^2=AP*CP,即BP=2√3
由∠BPA=120°,∠AB′C=60°,
∴A,P,C,B′四点共圆.
∴∠APB′=∠ACB′=60°,
∴∠APB+∠APB′=180°,
∴BPB′三点共线.
在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°,
由∠CPB′=120°-60°=60°,
∴△PCD是等边三角形,得：PC=PD（1）,
在△APC和△B′DC中,
AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°,
∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,
∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′（2）
由（1）,（2)得：
BP+AP+CP=BB′.证毕.

如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．你听说过费马点吗?如图,P为△ABC所在平面上的一点.如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120 ,则点P就是费马点.费马如图，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内的一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则 P为三角形ABC所在平面外的一点,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,则二面角A-PB-C的平面角的余弦值是. 已知P是△ABC内一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA,PA的平方=PB×PC 在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠CPA=60°,则PA与平面PBC所成角的余弦值为? △ABC中,角ABC=60°,点P是△ABC中一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,且PA=8,PC=6,则PB=（如截图三角形中,D为锐角三角形的ABC所在平面内的一点,如果∠ADB=∠BPC=∠CPA=120°,则点D就是“费马点” 在三角形abc中∠abc=60°,点p是三角形abc内一点,使得∠apb=∠bpc=∠cpa,且pa=8,pc=6,求p 三棱锥P-ABC中,角APB=角BPC=角CPA=60度,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为? 一道高中空间几何题 P是平面ABC外一点,如果PA=PB=PC,∠APB=∠BPC=∠CPA=60 度,则二面角P—AB 如图，点P为正△ABC内一点，∠APB=125°，∠BPC=100°，则以AP，BP，CP为边长的三角形各内角的度数为_