椭圆C：X^2/4+Y^2/3与直线Y=KX+B交于P,Q两点,椭圆右顶点为C,以P,Q为直径作圆,过点C,求证:直线过

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 10:15:43

椭圆C：X^2/4+Y^2/3与直线Y=KX+B交于P,Q两点,椭圆右顶点为C,以P,Q为直径作圆,过点C,求证:直线过定点,并求出这个点

证:依题意得:C(2,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)
椭圆方程可化为:3x^2+4y^2-12=0
联立椭圆与直线方程得:3x^2+4(k^2·x^2+2kb+b^2)-12=0
化简得(3+4k^2)x^2+8kb+4b^2-12=0
所以x1x2=(4b^2-12)/(3+4k^2)
x1+x2=-8kb/(3+4k^2)
y1y2=(kx1+b)(kx2+b)
=k^2x1x2+kb(x1+x2)+b^2
=[(4b^2-12)·k^2-8k^2·b^2]/(3+4k^2)+b^2
=(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)
因为以P,Q为直径作圆,过点C,所以向量PC·向量QC=0
即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0
x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
(4b^2-12）/(3+4k^2)+16kb/(3+4k^2)+(3b^2-12k^2)/(3+4k^2)+4=0
(4b^2-12+16kb+3b^2-12k^2+12+16k^2)/(3+4k^2)=0
(7b^2+4k^2+16kb)/(3+4k^2)=0
则7b^2+16kb+4k^2=0
b=(-16±12)/14=(-2/7)k 或(-2)k
若b=-(2/7)k,则直线方程为y=kx-(2/7)k,过定点(2/7,0)
若b=-2k,则直线方程为y=kx-2k,过定点(2,0)
呼哧,用电脑看可能有点晕,建议用笔再写一遍,也能顺便验算一下～

已知椭圆C方程4x^2+9y^2=36,直线y=kx+m与椭圆C交于AB两点,且以AB为直径的圆恰好过椭圆右顶点过椭圆C:x方/4+y方/2=1的左顶点A作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于P.Q两点,问直线P.Q是否过x轴上一定点, 已知椭圆x^2/9+y^2=1设直线l与椭圆M交于A,B两点且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求三角形ABC面积的最过椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1的右焦点F作直线交椭圆于A,B两点,求证以弦AB为直径的圆与与椭圆的右准线相离已知椭圆M：x²/9+y²=1,设直线l与椭圆M交于A、B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C, 如图椭圆Q:X^2/A^2+Y^2/b^2=1的右焦点F(C,0)过点F的一动直线M绕点F转动,并交椭圆于AB两点P是线已知椭圆C的方程为：x^2+4y^2=16,过点A(0,3)作直线l和椭圆C相交于点P,Q.若PQ的中点M又在直线x+4 已知椭圆x^2/9+y^2/4=1,过点P(0,3)作直线L顺次交椭圆于A,B两点,以线段AB为直径作圆, 已知椭圆x^2/4+y^2/3=1,过椭圆的右焦点作一条直线L交椭圆于A,B,又P为椭圆的右顶点,若三角形PAB的面积为已知椭圆C的中心在坐标原点,左顶点A(-2,0),离心率e=1/2,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P,Q两点,当P 已知椭圆C：X^2/2+Y^2=1.若过点M(2,0)的直线与椭圆C交于两点A、B,设P为椭圆上一点,且满足向量OA+向已知椭圆为3x方加4y方等于12，若直线L；Y=KX+M与椭圆C相交于AB两点【AB不是左右顶点】且以AB为直径的圆过椭