作业帮如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/08/24 01:34:47
如何用有限覆盖定理证明致密性定理（数学分析里的）
设﹛xn﹜为有界数列,并设它们全部包含在[a,b]内.如果它不存在收敛子序列,于是对[a,b]内的任
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限.因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外,其内不含其它的xα,而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖.由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b],当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn,产生矛盾.因此﹛xn﹜存在收敛子列,致密性定理得证.
一点x0,都不可能是﹛xn﹜的某个子序列的极限.因此恒存在一个邻域O﹙x0,δ﹚除了x0可能与有限
个xn相等之外,其内不含其它的xα,而邻域系﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]构成[a,b]一个开覆盖.由有限覆盖定理,能从﹛O﹙x0,δ﹚﹜x0∈[a,b]中选出有限个覆盖[a,b],当然也覆盖所有﹛xn﹜.但是有限个这种邻域内至多包含有限个xn,产生矛盾.因此﹛xn﹜存在收敛子列,致密性定理得证.