已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/08/31 21:10:23
已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=g(x)与y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b,c的值;
(2)当a2+b=0时,求函数f(x)+g(x)在区间(-∞,-1]上的最大值.
(1)若曲线y=g(x)与y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b,c的值;
(2)当a2+b=0时,求函数f(x)+g(x)在区间(-∞,-1]上的最大值.
(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f′(x)=2ax,k1=2a,
g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,
由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①
又f(1)=a+1=c,g(1)=1+b=c,
∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:a=3,b=3.c=4.
(2)由a2+b=0得b=-a2,设h(x)=f(x)+g(x)=ax2+1+x3-a2x.
则h′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a),令h′(x)=0,解得:x=-a<0或x=
a
3>0,
x (-∞,-a)-a (-a,0)
h′(x)+ -
h(x) 单调递增 极大值 单调递减∴原函数在(-∞,-a))单调递增,在(-a,0)单调递减,
①若-1≤-a,即0<a≤1时,此时函数在区间(-∞,-1]单调递增,最大值为h(-1)=a2+a;
②若-1>-a,即a>时,最大值为最大值为h(-a)=a3+1
综上所述:当a∈(0,1]时,最大值为h(-1)=a2+a;
当a∈(1,+∞)时,最大值为h(-a)=a3+1.
g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b,
由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①
又f(1)=a+1=c,g(1)=1+b=c,
∴a+1=1+b,即a=b,代入①式可得:a=3,b=3.c=4.
(2)由a2+b=0得b=-a2,设h(x)=f(x)+g(x)=ax2+1+x3-a2x.
则h′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a),令h′(x)=0,解得:x=-a<0或x=
a
3>0,
x (-∞,-a)-a (-a,0)
h′(x)+ -
h(x) 单调递增 极大值 单调递减∴原函数在(-∞,-a))单调递增,在(-a,0)单调递减,
①若-1≤-a,即0<a≤1时,此时函数在区间(-∞,-1]单调递增,最大值为h(-1)=a2+a;
②若-1>-a,即a>时,最大值为最大值为h(-a)=a3+1
综上所述:当a∈(0,1]时,最大值为h(-1)=a2+a;
当a∈(1,+∞)时,最大值为h(-a)=a3+1.
已知函数f(x)=13x3-ax2+bx.(a,b∈R)
已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2
已知函数f(x)=-x3+x2+bx,g(x)=alnx,(a>0).
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f'(1)=f'(-2/3)=0
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f(1)=f(-2/3)=0
已知函数f(x)=ax2-bx+1.
已知函数f(x)=x3-ax2-bx的图象与x轴相切于点(1,0),f(x)的极大值为______.
已知函数f(x)=x3-ax2-3x
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+3(a,b∈R),若函数在区间[0,1]上单减,求a2+b2的最小值
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(1)若函数f(x)在区间【-1,0】上是单调减函数,求
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c∈R.且满足a>b>c,f(1)=0.