四面体ABCD,面ABC与面BCD成60度,顶点A在面BCD上射影H是三角形BCD垂心,G是三角形ABC重心,AH=4,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 23:14:19

四面体ABCD,面ABC与面BCD成60度,顶点A在面BCD上射影H是三角形BCD垂心,G是三角形ABC重心,AH=4,AB=AC,GH?

连结AG,并延长交BC于M,连结DM,
则AM是△ABC的中线,
∵AB=AC,
∴AM⊥BC,（等腰△三线合一）,
连结HM,则HM是AM在平面BCD上的射影.
∴根据三垂线逆定理,BC⊥HM,
∵H是△BCD的垂心,
∴GM在BC边上的高线DH上,即DM是BC边上的高,
∴DM是BC的垂直平分线,DB=DC,
∴〈AMD是二面角A-BC-D的平面角,
〈AMD=60°,
AH/AM=sin60°,
AM=8√3/3,
MH=AM/2=4√3/3,
在△AMH上作GN//AH,交MH于N,
根据三角形平行比例线段性质,
GN/AH=MG/MA,
根据三角形重心的性质,MG/AM=1/3,
∴GN/AH=1/3,
GN=4/3,
同理,MN/MH=1/3,
MN=（4√3/3）/3=4√3/9,
NH=MH-MN=4√3/3-4√3/9=8√3/9,
在RT△HNH中根据勾股定理,
GH^2=GN^2+NH^2,
∴GH=10√3/9.
再问： GH=4√21／9,请证明
再答：是我最后一步算错了，根据三角形重心的性质，MG/AM=1/3， ∵△MNG∽△MHA， ∴GN/AH=1/3， GN=4/3，同理，MN/MH=1/3， MN=（4√3/3）/3=4√3/9， NH=MH-MN=4√3/3-4√3/9=8√3/9，在RT△HNH中根据勾股定理， GH^2=GN^2+NH^2, ∴GH^2=16/9+192/81=336/81. ∴GH= 4√21/9。

设A是三角形BCD所在平面外一点,M.N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,求证MN平行于面BCD A是三角形BCD所在平面外一点G H分别是三角形ABC和三角形ACD的重心若BC=5 CD=8角BCD=60° 求HG 在四面体ABCD中,M,N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,若BC=5cm ,CD=8cm,角BCD=60度,求M 如图,在三棱锥A-BCD中,M,N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,求证MN与平面BCD平行. 一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角四面体D－ABC中M,N分别是面ABD和面BCD的重心,求证MN平行于平面ACD 已知ABCD为四面体,O为三角形BCD内一点,则向量AO=1/3（AB+AC+AD）是三角形BCD重心的什么条件? 在四面体A-BCD中,E,F,G分别是AB,BC,DA的中点.试说明平面EFG同时与异面直线AC和BD平行. 已知三棱锥V-ABC中,VA垂直于平面ABC,三角形ABC是锐角三角形,H是A在面VBC上的射影,求证： A是△BCD所在平面外一点,M是△ABC重心,N是三角形ADC的中线AF上的点,且MN//平面BCD,若MN=4/3,求一题立体几何,设A是三角形BCD所在平面外一点,M,N分别是三角形ABC和三角形ACD的重心.求证:MN//平面BCD具 A是三角形BCD所在平面外一点,MN分别是三角形ABC和三角形ACD的重心,若BD=4求MN的长