在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/15 01:23:25
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=90°AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC垂直平面ABCD
(1)求证AB垂直平面PBC
(2)求平面PAD和平面BCP所成二面角(小于90°)的大小
(1)求证AB垂直平面PBC
(2)求平面PAD和平面BCP所成二面角(小于90°)的大小
(1)
根据三维坐标系性质,证明如下:
将梯形ABCD置于X-Y平面中,B点在坐标原点,BC与Y轴重合.
∵∠ABC=90°
∴AB与X轴重合
△BCP平面与梯形ABCD平面垂直,即与X-Y平面垂直.
∵BC与Y轴重合
∴△BCP平面在Y-Z平面上
∵在三维坐标系中,X轴与Y-Z平面垂直
∴AB与△BCP平面垂直
证毕.还有其他证明方法,此处仅供参考.
(2)
根据投影原理,分析如下:
在平面PBC上,有一束光,将P点投影到BC的E点位置,PE⊥BC.
在平面PAD上,另一束光,将P点投影到AD的F点位置,PF⊥AD.
两束光的夹角就是平面PBC和平面PAD的夹角.
连接PE、PF和EF,△PEF是直角三角形,∠EPF是该两个平面的夹角.
见图,计算如下:
在俯视图中:
BE=CE=CD
AE^2=BE^2+AB^2=5CD^2
DE^2=CE^2+CD^2=2CD^2
AD^2=5CD^2
在正左视图中:
PB=PC=2CD PE是三角形的高
PE^2=PB^2-BE^2=3CD^2
PE=√3CD
在侧前视图中:
PA^2=PE^2+AE^2=8CD^2
在侧后视图中:
PD^2=PE^2+DE^2=5CD^2
PD=AD=√5CD
在侧右视图中:
PA/Sinα=PD/Sin[(180°-α)/2]=PD/Cos(α/2)
[Cos(α/2)]^2/( Sinα)^2=PA^2/PD^2=5/8
(1+Cosα)×4=5×[1-(Cosα)^2]
(1+Cosα)×4=5×(1+Cosα)×(1-Cosα)
5Cosα=1 Cosα=1/5=DF/PD
DF=PD/5=√5CD/5
DF^2=CD^2/5
PF^2=PD^2-DF^2=5CD^2-CD^2/5
=24CD^2/5
PF=√(24/5)CD
在夹角剖面图中:
Cos(∠EPF)=PE/PF=√3CD/√(24/5)CD
=√(5/8)
=(√10)/4≈0.79
∠EPF≈37.8°
答:平面PAD和平面PBC的夹角约为37.8度.
供参考.
根据三维坐标系性质,证明如下:
将梯形ABCD置于X-Y平面中,B点在坐标原点,BC与Y轴重合.
∵∠ABC=90°
∴AB与X轴重合
△BCP平面与梯形ABCD平面垂直,即与X-Y平面垂直.
∵BC与Y轴重合
∴△BCP平面在Y-Z平面上
∵在三维坐标系中,X轴与Y-Z平面垂直
∴AB与△BCP平面垂直
证毕.还有其他证明方法,此处仅供参考.
(2)
根据投影原理,分析如下:
在平面PBC上,有一束光,将P点投影到BC的E点位置,PE⊥BC.
在平面PAD上,另一束光,将P点投影到AD的F点位置,PF⊥AD.
两束光的夹角就是平面PBC和平面PAD的夹角.
连接PE、PF和EF,△PEF是直角三角形,∠EPF是该两个平面的夹角.
见图,计算如下:
在俯视图中:
BE=CE=CD
AE^2=BE^2+AB^2=5CD^2
DE^2=CE^2+CD^2=2CD^2
AD^2=5CD^2
在正左视图中:
PB=PC=2CD PE是三角形的高
PE^2=PB^2-BE^2=3CD^2
PE=√3CD
在侧前视图中:
PA^2=PE^2+AE^2=8CD^2
在侧后视图中:
PD^2=PE^2+DE^2=5CD^2
PD=AD=√5CD
在侧右视图中:
PA/Sinα=PD/Sin[(180°-α)/2]=PD/Cos(α/2)
[Cos(α/2)]^2/( Sinα)^2=PA^2/PD^2=5/8
(1+Cosα)×4=5×[1-(Cosα)^2]
(1+Cosα)×4=5×(1+Cosα)×(1-Cosα)
5Cosα=1 Cosα=1/5=DF/PD
DF=PD/5=√5CD/5
DF^2=CD^2/5
PF^2=PD^2-DF^2=5CD^2-CD^2/5
=24CD^2/5
PF=√(24/5)CD
在夹角剖面图中:
Cos(∠EPF)=PE/PF=√3CD/√(24/5)CD
=√(5/8)
=(√10)/4≈0.79
∠EPF≈37.8°
答:平面PAD和平面PBC的夹角约为37.8度.
供参考.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB
已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,角ABC=角BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面AB
如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,且PA=PB=PC=AB=6,CD=2,BC
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形AB平行CD ∠ABC=90 AB=2BC=2CD=2,PA=PD,PB=PC
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD,角ABC=45度,DC=1AB=2 PA垂直平面ABCD
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB//CD角ABC等于45度,DC=1AB=2 PA垂直平面ABCD
已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,
如图:已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°AB=BC=PB=PC=2CDC,侧面PBC⊥底
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB平行CD,角ABC=90度,AB=2BC=2CD=2,PA=PD,PB=
如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥底面ABCD,CD⊥PD,底面ABCD为直角梯形,AD平行BC,AB=AD=PB