余弦定理的推导?用三角函数线和向量知识分别推导,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/08/23 23:28:27
余弦定理的推导?
用三角函数线和向量知识分别推导,
用三角函数线和向量知识分别推导,
三角函数线推导:
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
向量知识推导:
如图
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 (证明中a,b,c皆为向量,^2为平方)
拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆开,得|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|CosA
同理可证其他.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/24/924e529508ee758d4bc12559d2c949aa.jpg)
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得:
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
向量知识推导:
如图
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 (证明中a,b,c皆为向量,^2为平方)
拆开即a^2=b^2+c^2-2bc
再拆开,得|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|CosA
同理可证其他.
![](http://img.wesiedu.com/upload/9/24/924e529508ee758d4bc12559d2c949aa.jpg)