已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 23:29:49
已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证q=-1是数列{an}成等比数列的充要条件.
证明:当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)•pn-1.
由于p≠0,p≠1,
∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,
则
a2
a1=p,即(p-1)•p=p(p+q),
∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)•pn-1,
an
an−1=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(p-1)•pn-1.
由于p≠0,p≠1,
∴当n≥2时,{an}是等比数列.要使{an}(n∈N*)是等比数列,
则
a2
a1=p,即(p-1)•p=p(p+q),
∴q=-1,即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1.
再证充分性:
当p≠0且p≠1且q=-1时,Sn=pn-1,
an=(p-1)•pn-1,
an
an−1=p(n≥2),
∴{an}是等比数列.
已知数列An的前n项和Sn=p的n次方+q(p不为0和1)求数列An是等比数列的充要条件
已知数列{An}的前n项和Sn=(p^n)+q (p不等于0和1),求数列{An}是等比数列的充要条件,并给出证明
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(2012•德阳二模)已知数列{an}中,a1≠0,前n项和为Sn,Sn=pn+q,则{an}为等比数列是q=-1的(
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