逻辑问题：命题∀xP(x)在论域为空时的真值是什么呢?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 16:48:28

逻辑问题：命题∀xP(x)在论域为空时的真值是什么呢?
从∀xP(x)是∃x P(x)的否定.既然后者的意思是一定存在x使P(x)为真的话,那么前者应该就是论域中所有的x使P(x)为真或者论域为空了.也就是说命题∀xP(x)在论域为空时为真.
但如果P(x)恒为假呢?我们还能说命题∀xP(x)在论域为空时为真吗.

前面可能有笔误 ∀xP(x)是∃x 非P(x)的否定,而不是 “∀xP(x)是∃x P(x)的否定”
论域为空时,整个命题真.P(x)为假时,也为真.
简单的,你可以理解这句话 " 如果太阳从西边出来,就有."
太阳从西边出来就是一个空的论域,后面怎么说,这句话都是可以的.
再问：前面的确说错了，应为∀xP(x)是∃x非 P(x)的否定。如果的确是：“论域为空时，整个命题真。P(x)为假时，也为真”的话，请看这个问题：课本上说(∀xP(x))∧A等价于∀x(P(x)∧A)。而当论域为空且A为假时，前者为假后者为真不是吗？ " 如果太阳从西边出来，就有。。。。。"这是蕴含关系吧？“太阳从西边出来”应该不能算是论域的。
再答：应该这样说，论域为空时，在空论语下，所有命题即是真的也是假的。所以，你的例子并不矛盾。 “太阳从西边出来”不是数学语言，你无法理解成论域，我也不多作解释。这只是一个直观比喻。
再问： “在空论域下，所有命题即是真的也是假的”这句话有依据吗？字数太多，请看图： http://hiphotos.baidu.com/%CF%F4%C4%BD%BB%AA/pic/item/336175e59610845fb80e2d94.jpg
再答：你应该是非常初级的初学者。在空论域下，所有命题即是真的也是假的，任何一本数理逻辑的教材都有说明。更一般的，有如下定理：一个逻辑体系下，如果存在一组矛盾，那么该体系下所有命题，即真又假。同一表述在不对论域下的真假也可能不同。比如 P(x) = "x²>=0 "，那么 (∀xP(x)) 以实数集为论域与复数为论域真假就不同。
再问：我的确刚接触逻辑，而且学习的只是离散数学教程中讲述的逻辑部分，因此并没有看过“在空论域下，所有命题即是真的也是假的”这一说明。刚才搜索了一下论域的定义，在一阶逻辑里论域的定义里就包含了非空的要求，因此讨论空论域似乎是无意义的。 “同一表述在不对论域下的真假也可能不同”这个我是理解的，而之前图片里的例子是用不同论域里的不同命题来表述同一句话，由此认为两种命题在一致的情况下真假相同。
再答：就是因为空论域产生的逻辑系统是一个矛盾体系。矛盾体系内，所有命题既真又假，所以讨论起来没什么意思。所以，一般对矛盾体系不做什么研究。所以，有的逻辑书直接规则论域非空。有的书也没做这个规定，如上所说，规不规定，讨论起来都没意思。

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