作业帮问一道有关抛物线的高中数学题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/09 06:02:44
问一道有关抛物线的高中数学题
设过抛物线x^2=2py (p>0) 对称轴上的定点F（0,m) (m>0)作直线AB与抛物线交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),相应于点F的直线l:y=-m称为抛物线的“类准线”
（1） 若x1x2=-4m,求抛物线方程
（2）过点A(x1,y1)作“类准线”l:y=-m的垂线,垂足为A1,求证：A1,O,B三点共线（O为坐标原点）
（3）若点M是“类准线”L上的任一点,记直线MA,MB,MF的倾斜角依次为,D,E,F 试探求D,E,F余切之间的关系式,并给出证明.
设过抛物线x^2=2py (p>0) 对称轴上的定点F（0,m) (m>0)作直线AB与抛物线交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),相应于点F的直线l:y=-m称为抛物线的“类准线”
（1） 若x1x2=-4m,求抛物线方程
（2）过点A(x1,y1)作“类准线”l:y=-m的垂线,垂足为A1,求证：A1,O,B三点共线（O为坐标原点）
（3）若点M是“类准线”L上的任一点,记直线MA,MB,MF的倾斜角依次为,D,E,F 试探求D,E,F余切之间的关系式,并给出证明.
1.设AB的方程：y=kx+m
代入抛物线方程得：x^2-2pkx-2pm=0
x1x2=-2pm=-4m,p=2
故抛物线方程是：x^2=4y
2.A1(x1,-m),O(0,0),B(x2,x2^2/4)
k(OB)=x2/4
k(OA1)=-m/x1=(x1x2/4)/x1=x2/4
k(OB)=k(OA1)
故：A1,O,B三点共线
3.设M(x0,-m)
当x0=0时,cotE=0,
tanD=k(MA)=(y1+m)/x1=(x1^2+4m)/4x1,
tanF=k(MB)=(y2+m)/x2=(x2^2+4m)/4x2
cotD+cotF=...=0
cotD+cotF=cotE
当x0不等于0时,同理可得
我算了一下,第二问很繁,打字更繁
但思路是这样,你耐心算一下,
代入抛物线方程得：x^2-2pkx-2pm=0
x1x2=-2pm=-4m,p=2
故抛物线方程是：x^2=4y
2.A1(x1,-m),O(0,0),B(x2,x2^2/4)
k(OB)=x2/4
k(OA1)=-m/x1=(x1x2/4)/x1=x2/4
k(OB)=k(OA1)
故：A1,O,B三点共线
3.设M(x0,-m)
当x0=0时,cotE=0,
tanD=k(MA)=(y1+m)/x1=(x1^2+4m)/4x1,
tanF=k(MB)=(y2+m)/x2=(x2^2+4m)/4x2
cotD+cotF=...=0
cotD+cotF=cotE
当x0不等于0时,同理可得
我算了一下,第二问很繁,打字更繁
但思路是这样,你耐心算一下,