如何证明在度量空间里,有限个紧子集的并集还是紧集?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/07/14 08:26:21

如何证明在度量空间里,有限个紧子集的并集还是紧集?
是用有限覆盖性质吗

首先：度量空间中的紧子集等价于有界闭集.
其次：有限个有界集合的并是有界集合；且有限个闭子集的并是闭集.
所以：有限个紧子集之并为有界闭集,也就是紧集.
再问：谢谢回答，但有界闭集不一定是紧集吧。
紧集的充要条件是完备的完全有界集。
完全有界我知道，完备又是怎么的得出的呢？
再答：不好意思，没注意到是度量空间，不是R^n空间。

不妨尝试用紧集的另外一个等价定义：它是自列紧集。从而去证明有限个紧集之并集中，任取无穷序列总存在收敛子序列，且收敛点必然属于此紧集之并？

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