作业帮关于增根的题目,及解题方法和答案.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/09/05 06:45:24
关于增根的题目,及解题方法和答案.
多给点例题!三克油为你妈吃!
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定义
增根(extraneous root ),在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根
产生增根的来源
对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根.
(1)分式方程(2)无理方程
(3)非函数方程
分式方程增根介绍
在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根
例：x/(x-2)-2/(x-2)=0
去分母,x-2=0
x=2
但是X=2使X-2和X^2-4等于0,所以X=2是增根
分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0,则此解是分式方程的解,若最简公分母的值为0,则此解是增根.
例如:设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.
非函数方程增根介绍
在两非函数方程(如圆锥曲线)联立求解的过程中,增根的出现主要表现在定义域的变化上.
例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0),O为原点坐标,A为椭圆右顶点,若椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,求椭圆的圆心率的范围.
存在一种解法：
椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,即是以OA为直径画圆,要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解.所以联立椭圆和圆的方程：
(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0
→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 (*)
因为有两个根,所以△>0
∴△=(2b^2-a^2)>0
∴e≠(1/2)^(1/2) (二分之根号二)
而正解却是
由(*)得 x1=a x2=a·b^2/c^2
∴0
∴(1/2)^(1/2)
然而问题出在,无论怎么取,只要e≠(1/2)^(1/2),好像△永远都>0
于是我们取e=1/2
假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1
即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①
与圆x^2+y^2-2x=0···②
联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)
有十字相乘 x1=2 x2=6
显然 此时 x2=6是增根
将x2=6 带入①式 y^2= -24
将x2=6 带入②式 y^2= -24
将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24
可知这里的的确确是产生了一个增根,而且在解题过程中不能通过任何方式排除,这说明多个非函数方程联立求解时,方程本身无法限制x的取值.一般来说,直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解,还需要带回去验根的情况,大概是因为圆锥曲线不是函数,而直线是函数的原因.
不过值得注意的是：
①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根.例如圆不是函数,但求两个圆的交点,不会产生曾根.
②增根的产生和定义域有关系,但没有绝对的关系.不能说联立方程时,将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根.如上述例题中,①式定义域(-2,2) ②式定义域(0,2)大多数人是在②式中,用x表示y,写成y=ax-x^2,再带入①式,产生了增根.但是如果我们在①式中用x表示y,写成y^2=b^2(1-x^2/a^2),再带入②式,我们依然会得到增根.
下面列出两种必然会出现增根的一般式：
①椭圆与抛物线
椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得
b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20.联立方程式求解误认为x∈R .(另外我们还知道|x1|0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得
b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20
可知,若x1>0,则x20)中的隐含定义域x>0.联立方程式求解误认为x∈R .(另外我们还知道|x1|>|x2|)
无理数方程增根介绍
√ (2X^2-X-12)=X
两边平方得2X^2-X-12=X^2
得X^2-X-12=0
得X=4或X=-3(增根)
出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心,错误还会在无理不等式中体现
如何求增根
解分式方程时什么根,往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的.
1.如果不遵从同解原理,即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x,变形成x(x-2)=0,方程两边所乘的最简公分母,看其是否为0,是0即为增根.
还可以把x代入最简公分母也可.
增根是不可忽视性
许多人解方程时,得到了增根,比如说能量是负值,一般的人都会将这个忽视掉,但这些值是挺令人寻味的.著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时,他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关,即E2=p2+m2(p为动量,m为粒子的质量),解得E=±(p2+m2)^½,你肯定想保留正根,因为你知道能量不会是负值,但数学家们告诉狄拉克,你不能忽略负值,因为数学告诉我有两个根,你不能随便丢掉.
后来事实证明,第二个根,也就是为负的那个根,正是理论的关键：世界上既有粒子,也有反粒子.负能量就是用来解释反粒子的.
增根(extraneous root ),在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根
产生增根的来源
对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根.
(1)分式方程(2)无理方程
(3)非函数方程
分式方程增根介绍
在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根
例：x/(x-2)-2/(x-2)=0
去分母,x-2=0
x=2
但是X=2使X-2和X^2-4等于0,所以X=2是增根
分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0,则此解是分式方程的解,若最简公分母的值为0,则此解是增根.
例如:设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.
非函数方程增根介绍
在两非函数方程(如圆锥曲线)联立求解的过程中,增根的出现主要表现在定义域的变化上.
例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0),O为原点坐标,A为椭圆右顶点,若椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,求椭圆的圆心率的范围.
存在一种解法：
椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,即是以OA为直径画圆,要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解.所以联立椭圆和圆的方程：
(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0
→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 (*)
因为有两个根,所以△>0
∴△=(2b^2-a^2)>0
∴e≠(1/2)^(1/2) (二分之根号二)
而正解却是
由(*)得 x1=a x2=a·b^2/c^2
∴0
∴(1/2)^(1/2)
然而问题出在,无论怎么取,只要e≠(1/2)^(1/2),好像△永远都>0
于是我们取e=1/2
假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1
即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①
与圆x^2+y^2-2x=0···②
联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)
有十字相乘 x1=2 x2=6
显然 此时 x2=6是增根
将x2=6 带入①式 y^2= -24
将x2=6 带入②式 y^2= -24
将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24
可知这里的的确确是产生了一个增根,而且在解题过程中不能通过任何方式排除,这说明多个非函数方程联立求解时,方程本身无法限制x的取值.一般来说,直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解,还需要带回去验根的情况,大概是因为圆锥曲线不是函数,而直线是函数的原因.
不过值得注意的是：
①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根.例如圆不是函数,但求两个圆的交点,不会产生曾根.
②增根的产生和定义域有关系,但没有绝对的关系.不能说联立方程时,将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根.如上述例题中,①式定义域(-2,2) ②式定义域(0,2)大多数人是在②式中,用x表示y,写成y=ax-x^2,再带入①式,产生了增根.但是如果我们在①式中用x表示y,写成y^2=b^2(1-x^2/a^2),再带入②式,我们依然会得到增根.
下面列出两种必然会出现增根的一般式：
①椭圆与抛物线
椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得
b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20.联立方程式求解误认为x∈R .(另外我们还知道|x1|0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得
b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20
可知,若x1>0,则x20)中的隐含定义域x>0.联立方程式求解误认为x∈R .(另外我们还知道|x1|>|x2|)
无理数方程增根介绍
√ (2X^2-X-12)=X
两边平方得2X^2-X-12=X^2
得X^2-X-12=0
得X=4或X=-3(增根)
出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心,错误还会在无理不等式中体现
如何求增根
解分式方程时什么根,往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的.
1.如果不遵从同解原理,即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x,变形成x(x-2)=0,方程两边所乘的最简公分母,看其是否为0,是0即为增根.
还可以把x代入最简公分母也可.
增根是不可忽视性
许多人解方程时,得到了增根,比如说能量是负值,一般的人都会将这个忽视掉,但这些值是挺令人寻味的.著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时,他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关,即E2=p2+m2(p为动量,m为粒子的质量),解得E=±(p2+m2)^½,你肯定想保留正根,因为你知道能量不会是负值,但数学家们告诉狄拉克,你不能忽略负值,因为数学告诉我有两个根,你不能随便丢掉.
后来事实证明,第二个根,也就是为负的那个根,正是理论的关键：世界上既有粒子,也有反粒子.负能量就是用来解释反粒子的.