一个数学分析题.设f(x)连续,当x→+∞时,lim f(x+1)-f(x)=k(常数).证明:当x→+∞时 ,lim
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/15 03:17:37
一个数学分析题.
设f(x)连续,当x→+∞时,lim f(x+1)-f(x)=k(常数).
证明:
当x→+∞时 ,lim f(x)/x = k.
提示:对于只学过高等数学的人可有点难.多用分析中的ε工具.
设f(x)连续,当x→+∞时,lim f(x+1)-f(x)=k(常数).
证明:
当x→+∞时 ,lim f(x)/x = k.
提示:对于只学过高等数学的人可有点难.多用分析中的ε工具.
由中值定理知,存在ξ∈(x,x+1),使得
f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*[(x+1)-x]=f'(ξ)
当x→+∞时,x+1→+∞
由夹逼定理知
ξ→+∞
∴lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=lim(ξ→+∞) f'(ξ)=k
若lim(x→+∞)f(x)→∞,则lim(x→+∞) f(x)/x为∞/∞型,用L'Hospital法则
lim(x→+∞) f(x)/x
=lim(x→+∞) f'(x)
=k
若lim(x→+∞)f(x)=a不趋向于∞,则lim(x→+∞) f(x)/x=0
显然lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=a-a=0
即k=0
∴lim(x→+∞) f(x)/x=k=0
综上可知lim(x→+∞) f(x)/x=k成立
再问: 没有可导条件,中值定理不适用。
再答: 由lim f(x+1)-f(x)=k存在应该可以推出f(x)可导
再问: 别说“应该”。其实推不出来。 随便找个周期为1的不可导连续函数就满足条件的。
再答: 比如说?
再问: 举个简单的不可导的。 先定义[0,1]上的f(x) f(x)= x 0
f(x+1)-f(x)=f'(ξ)*[(x+1)-x]=f'(ξ)
当x→+∞时,x+1→+∞
由夹逼定理知
ξ→+∞
∴lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=lim(ξ→+∞) f'(ξ)=k
若lim(x→+∞)f(x)→∞,则lim(x→+∞) f(x)/x为∞/∞型,用L'Hospital法则
lim(x→+∞) f(x)/x
=lim(x→+∞) f'(x)
=k
若lim(x→+∞)f(x)=a不趋向于∞,则lim(x→+∞) f(x)/x=0
显然lim(x→+∞) [f(x+1)-f(x)]=a-a=0
即k=0
∴lim(x→+∞) f(x)/x=k=0
综上可知lim(x→+∞) f(x)/x=k成立
再问: 没有可导条件,中值定理不适用。
再答: 由lim f(x+1)-f(x)=k存在应该可以推出f(x)可导
再问: 别说“应该”。其实推不出来。 随便找个周期为1的不可导连续函数就满足条件的。
再答: 比如说?
再问: 举个简单的不可导的。 先定义[0,1]上的f(x) f(x)= x 0
设f(x)有二阶导数,且f''(X)>0,lim(x趋于0)f(x)/x=1 ..证明:当x>0时,有f(x)>x
当x→a时,lim f(x) =+∞,当x→+∞,lim g(x)=A,证明:当x→a时,lim g(f(x))=A
设 x→+∞ lim f(x)=A (A≠0) ,证明当 x 充分大时 |f(x)| > |A|
已知 lim(x->+∞)f'(x)=0 证明:lim(x->+∞)f(x)=常数
设函数f(x)有界,又lim(x→∞)g(x)=0,证明:lim(x→∞)f(x)g(x)=0(证明过程)
设F(x)在x=0处连续,已知当x趋近于0时,lim(1+f(x)/x)^1/sinx=e^2,求当x趋近于0时,lim
设f(x)=当x0时为arccot-2/(x^2),求lim f(x) x->0-,lim f(x)x->0+,limf
当x→0时,lim[ln(1+2x)+xf(x)]/x^2=2,求lim[2+f(x)]/x 要求详细解释
当x→0时,lim[ln(1+2x)+xf(x)]/x^2=2,求lim[2+f(x)]/x
当x→0时,lim[ln(1-2x)+xf(x)]/x^2=4,求lim[f(x-2)]/x
1.设f(x)在点a处可导,求当x→0时极限lim[f(a+x)-f(a-x)]/x的值.
设函数lim 当x趋向于a时 f(x)-f(a)/(x-a)⑵=1/3,则f(x)在x=a处