有序正整数ab满足a+b=2010 a大于b且互质 满足条件多少对
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/20 01:37:21
有序正整数ab满足a+b=2010 a大于b且互质 满足条件多少对
有序正整数对(a,b)(a
有序正整数对(a,b)(a
不难证明:a和b的最大公约数等于a和a+b的最大公约数.
因此a,b互质等价于a与a+b = 2010互质.
于是满足a,b互质且a+b = 2010的正整数对(a,b)的个数,等于1,...,2009中与2010互质的整数个数.
分解质因数2010 = 2×3×5×67.
如果学过Euler φ函数,可直接得到这样的整数个数φ(2010) = (2-1)(3-1)(5-1)(67-1) = 528.
即恰有528对正整数(a,b),满足a,b互质且a+b = 2010.
其中恰有一半满足a < b,故得结果为264.
补充证明一下φ(2010)的公式,用容斥原理,设集合S = {1,2,...,2010}.
设d是2010的一个正约数,易知S中被d整除的整数个数为2010/d.
由容斥原理,|S中与2010互质的整数|
= |S|-|S中被2整除的整数|-|S中被3整除的整数|-|S中被5整除的整数|-|S中被67整除的整数|
+|S中同时被2,3整除的整数|+|S中同时被2,5整除的整数|+...(6项)
-|S中同时被2,3,5整除的整数|-|S中同时被2,3,67整除的整数|-...(4项)
+|S中同时被2,3,5,67整除的整数|
= |S|-|S中被2整除的整数|-|S中被3整除的整数|-|S中被5整除的整数|-|S中被67整除的整数|
+|S中被6整除的整数|+|S中被10整除的整数|+...
-|S中被30整除的整数|-|S中被402整除的整数|-...
+|S中被2010整除的整数|
= 2010-2010·1/2-2010·1/3-2010·1/5-2010·1/67
+2010·1/2·1/3+2010·1/2·1/5+...
-2010·1/2·1/3·1/5-2010·1/2·1/3·1/67-...
+2010·1/2·1/3·1/5·1/67
= 2010·(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/67)
= (2-1)(3-1)(5-1)(67-1).
因此a,b互质等价于a与a+b = 2010互质.
于是满足a,b互质且a+b = 2010的正整数对(a,b)的个数,等于1,...,2009中与2010互质的整数个数.
分解质因数2010 = 2×3×5×67.
如果学过Euler φ函数,可直接得到这样的整数个数φ(2010) = (2-1)(3-1)(5-1)(67-1) = 528.
即恰有528对正整数(a,b),满足a,b互质且a+b = 2010.
其中恰有一半满足a < b,故得结果为264.
补充证明一下φ(2010)的公式,用容斥原理,设集合S = {1,2,...,2010}.
设d是2010的一个正约数,易知S中被d整除的整数个数为2010/d.
由容斥原理,|S中与2010互质的整数|
= |S|-|S中被2整除的整数|-|S中被3整除的整数|-|S中被5整除的整数|-|S中被67整除的整数|
+|S中同时被2,3整除的整数|+|S中同时被2,5整除的整数|+...(6项)
-|S中同时被2,3,5整除的整数|-|S中同时被2,3,67整除的整数|-...(4项)
+|S中同时被2,3,5,67整除的整数|
= |S|-|S中被2整除的整数|-|S中被3整除的整数|-|S中被5整除的整数|-|S中被67整除的整数|
+|S中被6整除的整数|+|S中被10整除的整数|+...
-|S中被30整除的整数|-|S中被402整除的整数|-...
+|S中被2010整除的整数|
= 2010-2010·1/2-2010·1/3-2010·1/5-2010·1/67
+2010·1/2·1/3+2010·1/2·1/5+...
-2010·1/2·1/3·1/5-2010·1/2·1/3·1/67-...
+2010·1/2·1/3·1/5·1/67
= 2010·(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/67)
= (2-1)(3-1)(5-1)(67-1).
1.有序正整数对(a,b)(a小于b)满足a+b=2008.且a,b互质,则满足条件的(a,b)共有几对?
若a、b为正整数,且a大于b,a平方-b平方=72,则满足条件的数对(a,b)共有多少个?
已知△ABC中,三边长a,b,c都是正整数,且满足a大于b大于c,a=8,满足条件的三角形共有多少个?
有序正整数对(a,b)满足a+b=2008,a<b,且a,b互质,则满足条件的(a,b)共有_______对
已知△ABC中,三边长a,b,c都是正整数,且满足a大于等于b大于c,a=5,b=7 满足条件的三角形共有多少个?
已知正整数a,b,c满足a>b>c,且ab+bc+ca=abc,求所有符合条件的 a,b,c
假设正整数a大于b,[a,b]+(a,b)=35,求所有满足条件的正整数a和b的大小.
定义映射f:A→B,其中A={(m,n)|m,n∈R},B=R,已知对所有的有序正整数对(m,n)满足下述条件:①f(m
已知三角形ABC中 ,三边长a、b、c都是正整数,而且满足a大于b大于c,a=8` 问满足条件的三角形共用多少个?
有序正整数对(a,b)(a
(2010•西安八校联考)已知正整数a、b满足4a+b=30,则使得1a+1b取得最小值的有序数对(a,b)是( )
已知a,b是正整数且满足a2-b2=2013,求ab的值.