作业帮一道挺有意思的数学题,还请高手给一下证明方法.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/08 04:47:51
一道挺有意思的数学题,还请高手给一下证明方法.
证明：从任何一个正整数开始,进行如下运算,都能得到一个简单循环(1-4-2)
运算方式：（任意一正整数）若这个数是奇数,就把这个数乘3再加上1.,若这个数是偶数,就把这个数除以2；所得结果继续按照上述运算方式进行处理.
例：取正整数3,是奇数,则乘3加1,得到结果为10,是偶数,则除以2,得到结果为5,继续按照上述运算方式处理依次得到16、8、4、2、1、4、2、1、4、2、1.
*证明：如果按照此运算方式运算,则必然能够得到1-4-2循环
证明：从任何一个正整数开始,进行如下运算,都能得到一个简单循环(1-4-2)
运算方式：（任意一正整数）若这个数是奇数,就把这个数乘3再加上1.,若这个数是偶数,就把这个数除以2；所得结果继续按照上述运算方式进行处理.
例：取正整数3,是奇数,则乘3加1,得到结果为10,是偶数,则除以2,得到结果为5,继续按照上述运算方式处理依次得到16、8、4、2、1、4、2、1、4、2、1.
*证明：如果按照此运算方式运算,则必然能够得到1-4-2循环
这就是著名的角谷猜想,至今尚无人证明.
“角谷猜想”又称“冰雹猜想”.它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”.其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当.
为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起.
大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹.
“冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字：“1”．
这个数学猜想的通俗说法是这样的：
任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果他是奇数,就将他乘3减1
对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1．
对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试：
若 N=9,则 9×3＋1=28,28÷2=14,14÷2=7,7×3＋1=22,22÷2=11,11×3＋1=34,34÷2=17,17×3＋1＝52,52÷2＝26,26÷2＝13,13×3＋1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．
你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”．
若 N=120,则120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3＋1=46,46÷2=23,23×3＋1=70,70÷2=35,35×3＋1=106,106÷2=53,53×3＋1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．
你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”．
有一点更值得注意,假如N是2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1．例如：
N=65536=216
则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．
你看,它的路径长度为16,比9的还要小些.
我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法.严格地讲,应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈.
这一结果如此奇异,是令人难以置信的.曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环.已经验证的最大数目,已达到1099511627776．
由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想.(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明.)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难.
不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣.比如,对于“角谷猜想”若作如下更动：
任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2；若它是奇数,则将它乘以3再减1．……如此下去,经过有限次步骤运算后,它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．
“角谷猜想”又称“冰雹猜想”.它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”.其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当.
为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起.
大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹.
“冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字：“1”．
这个数学猜想的通俗说法是这样的：
任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果他是奇数,就将他乘3减1
对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1．
对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试：
若 N=9,则 9×3＋1=28,28÷2=14,14÷2=7,7×3＋1=22,22÷2=11,11×3＋1=34,34÷2=17,17×3＋1＝52,52÷2＝26,26÷2＝13,13×3＋1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．
你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”．
若 N=120,则120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3＋1=46,46÷2=23,23×3＋1=70,70÷2=35,35×3＋1=106,106÷2=53,53×3＋1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．
你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”．
有一点更值得注意,假如N是2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1．例如：
N=65536=216
则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．
你看,它的路径长度为16,比9的还要小些.
我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法.严格地讲,应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈.
这一结果如此奇异,是令人难以置信的.曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环.已经验证的最大数目,已达到1099511627776．
由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想.(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明.)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难.
不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣.比如,对于“角谷猜想”若作如下更动：
任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2；若它是奇数,则将它乘以3再减1．……如此下去,经过有限次步骤运算后,它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．