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25. 在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/07/05 11:33:12
25. 在平面直角坐标系xOy中，设点，是图形W上的任意两点． 定义图形W的测度面积：若的最大值为m，的最大值为n，则 为图形W的测度面积． 例如，若图形W是半径为1的⊙O．当P，Q分别是⊙O与x轴的交点时，如图1， 取得最大值，且最大值m=2；当P，Q分别是⊙O与y轴的交点时，如图2，取得最大值，且最大值n=2．则图形W的测度面积． （1）若图形W是等腰直角三角形ABO，OA=OB=1. ①如图3，当点A，B在坐标轴上时，它的测度面积S= ； ②如图4，当AB⊥x轴时，它的测度面积S= ； （2）若图形W是一个边长为1的正方形ABCD，则此图形测度面积S的最大值为 ； （3）若图形W是一个边长分别为3和4的矩形ABCD，求它的测度面积S的取值范围．
老师我们老师上课讲了我没听懂，麻烦步骤细一点
解题思路： 结合三角形相似和勾股定理进行求解　　　　　　　　　　　　　　　　　
解题过程：
解：
（1）① 1；② 1．
（2） 2．
（3）不妨设矩形ABCD的边AB=4，BC=3．由已知可得，平移图形W不会改变其测度面积S的大小，将矩形ABCD的其中一个顶点B平移至x轴上．
当顶点A，B或B，C都在x轴上时，如图5和图6，矩形ABCD的测度面积S就是矩形ABCD的面积，此时S取得最小值，且最小值为12．
当顶点A，C都不在x轴上时，如图7．
过A作直线AE⊥x轴于点E，过C作直线CF⊥x轴于点F，
过D作直线GH∥x轴，与直线AE，CF分别交于点H和点
G，则可得四边形EFGH是矩形．
当点P，Q分别与点A，C重合时，取得最大值，
且最大值；
当点P，Q分别与点B，D重合时，取得最大值，且最大值．
∴图形W的测度面积．
∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°．
∵∠AEB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°．∴∠BAE=∠CBF．
又∵，∴△ABE∽△BCF．
∴．
设，则，
在Rt△ABE中，由勾股定理得．
∴．即．∵，∴
易证△ABE≌△CDG． ∴．
∴，．
∴

∴当，即时，测度面积S取得最大值．
∵，∴．∴．
∴当顶点A，C都不在x轴上时，S的范围为．
综上所述，测度面积S的取值范围是．

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