设向量 a1,a2,b1,b1均是三维列向量,且a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,存在非零向量c,使c既可由a1,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/07/14 15:15:37

设向量 a1,a2,b1,b1均是三维列向量,且a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,存在非零向量c,使c既可由a1,a2线性表出,又可由b1,b2线性表出,当a1=(1,0,2),a2=(2,-1,3),b1=(-3,2,5),b2=（0,1,1）时,求出所有向量c

嘿,这题目怪怪的,第一次遇到这类型的
c 既可由a1,a2线性表出,又可由b1,b2线性表出
等价于方程组
x1a1+x2a2 = c
x3b1+x4b2 = c
有解.
这等价与
秩
a1 a2 0 0
0 0 b1 b2
=
秩
a1 a2 0 0 c
0 0 b1 b2 c
当a1=(1,0,2),a2=(2,-1,3),b1=(-3,2,5),b2=（0,1,1）时
设 c = (c1,c2,c3)^T,则
a1 a2 0 0 c
0 0 b1 b2 c
=
1 2 0 0 c1
0 -1 0 0 c2
2 3 0 0 c3
0 0 -3 0 c1
0 0 2 1 c2
0 0 5 1 c3
--> r3-2r1-r2,r1+2r2,r2*(-1)
r6+r4-r5
1 2 0 0 c1
0 -1 0 0 c2
0 0 0 0 c3-2c1-c2
0 0 -3 0 c1
0 0 2 1 c2
0 0 0 0 c3+c1-c2
所以c满足
-2c1-c2+c3=0
c1-c2+c3=0
系数矩阵
-2 -1 1
1 -1 1
-->
1 0 0
0 1 -1
通解为 c = k(0,1,1)^T = (0,k,k)^T
此即为满足要求的所有的向量.
再问：矩阵不可以写成 1 2 -3 0 c1 0 -1 2 1 c2 2 3 5 1 c3 吗？
再答：也不是不行要考虑c 分别由 a1,a2 和 b1,b2 线性表示拆成两个较直观些

设a1,a2,b1,b2均为三维列向量,且a1,a2线性无关,b1,b2线性无关,证明：存在非零向量m,使得m即可由a1 线性代数;设4维列向量a1,a2,a3线性无关且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关设b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,且向量组a1,a2,a3线性无关,判断向量组是否线性无关? 设b1=a1,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,且向量组a1,a2,a3线性无关,判断向量组是否线性相关? 线性代数问题：设向量组a1,a2,.,as线性无关,向量b1可由它线性表示,而向量b2不能由它线性表示,证明设向量a1 a2 a3线性无关,B1=a1+a2 B2=a2+a3 B3=a3+a1...证明B1.B2.B3线性无关设向量组a1,a2,a3 线性无关,又向量组b1=a1 ,b2=a1+a2,b3=a1+a2+a3,证明b1,b2,b3 设向量a1,a2,a3线性无关,试证向量b1=a1+a2,b2=a1+a3,b3=a2+a3也线性无关. 线性代数线性相关问题线性代数;设4维列向量a1,a2,a3线性无关且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关设b1=a1,b2=a1+a2,...,br=a1+a2+...+ar,且向量组a1,a2,...,ar,线性无关,证明设向量组{a1,a2.ak}线性无关,向量组{b1,b2,.bk}满足b1=a1-λa2,b2=a2+λa3.. 设向量组a1,a2,a3 线性无关,又向量组b1=a1+a2+a3 ,b2=a1+2a2-a3,b3=a1-a2+2a3