分式求极限,约掉一些式子改变了定义域为什么还可以?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 03:57:49

分式求极限,约掉一些式子改变了定义域为什么还可以?
求某个式子的极限,举个例子……比如我化简到了 (x-1)/(x-1)x,然后我上下把x-1约掉了,求x趋向于1时候的极限得出是1,为什么这里可以把那个约掉?这样就不是原来的函数了啊~不太明白

一楼的解答,差强人意,分类管理员更是胡乱推荐!
lim (x-1)/(x-1)x,无论取不取极限,它跟 (x-1)/(x-1)x,没有任何本质区别!
x→1
1、无论x如何趋近于1,分子的(x-1)的值,与分母的(x-1)的值是一样的,它并不影响
原来分数的比值；
2、函数改变了,并不表示对应于一个x的原来的函数值改变了.这种情况在三角函数
恒等变换中,是极其普遍的,用恒等式左式算出的式子,右式同样能够做到.
3、楼主担心的是定义域改变了,这个考虑是对的,是认真思考而不是死记硬背的可喜
现象.原来的定义域中,x不可以等于1,化简后,似乎可以用x=1代进去了.
这就是极限计算的奇妙之处了：
A、极限在计算过程中,只是x趋近于(approaches to)1,而非实际等于1.只要没有等
于1,任何程度的趋近,都是合理的.
B、在无限趋近的过程中,找到了一个规律,或者说找到了一个趋势(tendency),循此
趋势,找到了原本不可以计算的值.
C、极限计算的结果,却是将原来不在定义域内的点代进去计算(如上),或是代入一个
点在完全不同的表达式中计算(如求导).
例如在未学极限之前,求斜率需要两个点的坐标,而在取了极限之后,一个点就够了.
总而言之,原来函数不能计算的一些值,通过取极限的计算,取得了既准确无误,有简洁
无比的结果.这一结果,就使得初等数学过渡到了微积分.

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