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如图,平行四边形ABCD,M和N分别在BA,DC延长线上,AN平分∠BAD交BC于E,CM平分∠BCD,交AD于F,如果

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/08 07:40:00
如图,平行四边形ABCD,M和N分别在BA,DC延长线上,AN平分∠BAD交BC于E,CM平分∠BCD,交AD于F,如果BF⊥MC,求证ABEF为菱形.

证明:因为ABCD是平行四边形
所以AD=BC
AB=DC
角BAD=角BCD
AB平行DC
AF平行BE
所以角EAD=角AEB
因为AN平分角BAD
所以角EAD=角BAE=1/2角BAD
所以角BAE=角AEB
所以AB=BE
因为CM平分角BCD
所以角BCF=1/2角BCD
所以角AEB=角BCF
所以AE平行MC
所以AB/BM=BE/BC
所以BM=BC
所以三角形BMC是等腰三角形
因为BF垂直MC
所以BF是三角形BMC的中线
所以MF=CF
因为AB平行DC
所以角M=角FCD
角MAF=角D
所以三角形AMF和三角形DCF全等(AAS)
所以AF=DF=1/2AD=1/2BC
所以AF=BE
因为AF平行BE(已证)
所以四边形ABEF是平行四边形
因为AB=BE(已证)
所以四边形ABEF是菱形