一道关于线性代数的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/06 08:00:34

一道关于线性代数的问题
题目如下图第10题所示

下图是解答,我想问的是,Ax=0只有零解,说明A是满秩,那么秩就有可能是m或n,而答案中为什么写的是n呢?

Ax=0只有零解,说明A是列满秩.因为换一个观点来看,Ax可以看做是对A的所有列向量做线性组合得到一个新向量,而组合的系数就是x的各个分量.如果Ax=0只有零解,表明A的列向量线性无关,就是要用A的列向量组合成零向量,组合系数必须都是0.此时A是列满秩矩阵,A的秩等于n（列数）.
其实A如果是列满秩,那么它的行数m一定不会小于列数n.因为矩阵的秩r不会超过行数m和列数n,即r=n.所以不用考虑行数的问题.
如果A的行向量线性无关或者x'A=0只有零解,那么A就是行满秩矩阵,此时的列数一定不小于行数.

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