线性代数中 维数和秩的关系

线性代数中 维数和秩的关系

1. 矩阵的秩和它的行空间,列空间维数之间的关系.
2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数.
1. 秩的几何意义.
设给了数域F上一个m*n矩阵
A=
矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一个向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,这里
a=(a,a,...,a),I=1,...,m.
由a,a,...,a所生成的F的子空间￡(a,a,..., a)叫做矩阵A的行空间.类似的,由A的n个列向量所生成的F的子空间叫做A的列空间.
当m≠n时,矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间,
引理6.7.1 设A是一个n*m矩阵
如果B=PA,P是一个N阶可逆矩阵,那么B与A有相同的行空间.
如果C=AQ,Q是一个n阶可逆矩阵,那么C与A有相同的列空间.
证:我们只证明(I),因为(ii)的证明完全类似.
A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn.
令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等于P的第I行等于P的第P的第I行右乘以矩阵A:
bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam,
所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合,这样,向时组{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}等价,所以它们生成Fn的同一子空间.
我们知道,对于任意一个m*n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使
(1) PAQ=
这里r等于A的秩,两边各乘以Q得
PA=Q
右端乘积中后m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由于Q-1可逆,所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关.于是PA的行空间的维数等于r.由引理6.7.1,A的行间的维数等于r ,另一方面,将等式(1)左乘以P-1得
AQ= P
由此看出,AQ的列空间的维数等于r,从而A的列空间的维数也等于r,这样就证明了
定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.
由于这一事实,我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数;也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数.
数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
线性方程组的解的结构:设
a11x1+a12x2+…a1nxn=0
a21x1+a22x2+…a2nxn=0
(3)
am1x1+am2x2+amnxn=0
是数域 F上一个齐次线性方程组.令A是这个方程组的系数矩阵.那么(3)可以写 成
(3) A=
(3)的每一个解都可以看作Fn的一个向量,叫做方程组(3)的一个解向量.设
=, = .
是(3)的两个解向量,而a,b是F中任意数.那么由(3'),
A(ax+bh)=aA +bA = ,
所以aξ+bη也是(20的一个解向量,另一方面,齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间.
现在设(3)的系数矩阵的秩等于r.那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵;
.
与这个矩阵相当的齐次线性方程组是
y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0,
y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0,
………………………………,
yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0,
这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn.依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,(0,…,0,1),我们得到(4)的n-r个解向量
=, =,……., =
这n-r个解向量显然线性无关,另一方面,设(k1,k2,…,kn)是(4)的任意一个解,代入(4)得
k1=-c1,r+1kr+1-…-c1,nkn,
k2=-c2,r+1kr+1-…-c2,nkn,
……………………………
kr=-cr,r+1kr+1-…- cr,nkn,
kr+1=1kr+1,
………………………………
kn= 1kn.
于是
=kr+1,ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn
因此,(4)的每一个解向量都可以由这n-r个解向量ηr+1,ηr+2,…,ηn线性表示,这样一来, {ηr+1,ηr+2,…,ηn}构成(4)的解空间的一个基,重新排列每一解向量ηi中坐标的次序,就得到齐次线性方程组(3)的解空间的一个基,即
定理6.7.3 数域上一个n个未知量的齐次线性方程组的一毁解作成Fn的一个子空间,称为这个齐次线性方程组的解空间,如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r,那么解空间的维数n-r.
一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系.
例 1 求齐次线性方程组
x1-x2+5x3-x4=0
x1+x2-2x3+3x4=0
3x1-x2+8x3+x4=0
x1+3x2-9x3+7x4=0
的一个基础解系.
对行施行初等变换化简系数矩阵,得
与这个矩阵相当的齐次方程组是
取作为自由未知量,依次令和得出方程的两个解
它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式
这里是所数中任意数,方程组的解空间由一切形如的解向量组成.设
(5) A
是数域F上任意一个线性方程组,A是一个m8n矩阵,把(5)的常数都换成零,就得到一个齐次线性方程组
A=
齐次方程组(6)叫做方程组(5)的导出齐次方程组,
定理6.7.4 如果线性方程组(5)有解那么(5)的一个解与导出齐次方程组的一个解的任意解都可以写成(5)的一个固定(6)的一个解的和,
证 设ν=(c1,c2,…cn)是方程组(5)的一个解,δ=(d1,d2,…,dn)是导出齐次方程组(6)的一个解.那么
A=A
所以是(5)的一个解设是(5)的任意一个解.那么
A
因此μ=λ—ν是导出方程组(6)的一个解,而λ=ν+μ.