计算抛物线y^2=2px(p>0)从顶点到点(p/2,p)的一段曲线弧长.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/10/05 00:59:18

计算抛物线y²=2px(p>0)从顶点到点(p/2,p)的一段曲线弧长.
对y²=2px取导数得 2yy′=2p,故y′=p/y=p/√(2px)
于是弧长S=[0,p/2]∫[√(1+y′²)]dx=[0,p/2]∫√[1+(p/2x)]dx
令1+(p/2x)=u²,p/2x=u²-1,2x/p=1/(u²-1),x=p/2(u²-1),当x=0时,u=+∞；当x=p/2时,u=√2.
dx=-2udu/2(u²-1)²=-udu/(u²-1)²
故S=[0,p/2]∫√[1+(p/2x)]dx=[-∞,√2]-∫[u²/(u²-1)²]du=[-∞,√2]-∫[u²/(u+1)²(u-1)²]du
=[-∞,√2]-(1/4)∫{[u/(u-1)²]-[u/(u+1)²]du}=[-∞,√2]-(1/4)∫{[1/(u-1)²+1/(u-1)]-[1/(u+1)-1/(u+1)²]}du
=-(1/4)[-1/(u-1)+ln︱u-1︱-ln︱u+1︱-1/(u+1)]︱[-∞,√2]
=(1/4)[1/(u-1)-ln︱(u+1)/(u-1)︱+1/(u+1)]︱[-∞,√2]
=(1/4){1/(√2-1)-ln[(√2+1)/(√2-1)]+1/(√2+1)}
=(1/4)[(√2+1)+(√2-1)]=(√2)/2
再问： y′=p/y=p/√(2px) 于是弧长S=[0，p/2]∫[√(1+y′²)]dx=[0，p/2]∫√[1+(p/2x)]dx y′=p/√(2px) 应该是s=[0，p/2]∫√[1+(p^2/2x)]dx吧，不过我现在会了，所以仍然很谢谢你，嘻嘻！

已知抛物线C;y^2=2px(p>0),F为抛物线的焦点,点M(p/2,p) 计算抛物线y^2=2px从顶点到曲线上的一点M（x,y）的弧长过抛物线y^2=2px(p>0)的顶点O作互相垂直的弦OA、OB 从抛物线y²=2px(p>0)上各点向x轴作垂线段,求垂线段中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线? 正三角形的一个顶点位于抛物线y^2=2px(P>0)的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个三角形的边长. 过抛物线y^2=4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦OA.OB,求AB中点P的轨迹方程将两个顶点坐标在抛物线y^2=2px (p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点F与双曲线x^2-y^2/x=1的右顶点重合,抛物线与直线求抛物线y的平方=2px（p》0）的焦点弦长的最小值已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y^2=2px(p>0)上,求这个等边三角形的边长已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y^2=2px(p>0)上,求这个等边三角形的边长. 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线Y平方=2PX （P=0）上,求这个三角形的边长.