已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为实数.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/01 09:02:37
已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为实数.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上是增函数,求a的取值范围(e为自然对数的底数).
(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=
+
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上是增函数,求a的取值范围(e为自然对数的底数).
(3)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=
lnx |
x |
1 |
2 |
(1)当a=-1时,f′(x)=(-x+lnx)′=-1+
1
x,
令f′(x)=-1+
1
x=0,解得x=1,
当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
故f(x)有极大值f(1)=-1
(2)求导可得f′(x)=a+
1
x,由x∈(0,e],得
1
x∈[
1
e,+∞),
由于f(x)在区间(0,e]上是增函数,所以f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,
即a+
1
x≥0在(0,e]上恒成立,所以a≥−
1
x在(0,e]上恒成立,
由
1
x∈[
1
e,+∞),知−
1
x∈(−∞,−
1
e],即−
1
x≤−
1
e
所以当a≥−
1
e时,a≥−
1
x恒成立,
故所求a的取值范围为:a≥−
1
e
(3)由(1)中的结论f(x)由唯一极值-1知,函数f(x)由最大值-1,
即f(x)≤-1,所以|f(x)|≥1,
令g(x)=
lnx
x+
1
2,则g′(x)=
1−lnx
x2
当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(e)=
1
e+
1
2,
从而g(x)≤
1
e+
1
2,又
1
e+
1
2<1,所以方程|f(x)|=
1nx
x+
1
2无实数解.
1
x,
令f′(x)=-1+
1
x=0,解得x=1,
当0<x<1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
故f(x)有极大值f(1)=-1
(2)求导可得f′(x)=a+
1
x,由x∈(0,e],得
1
x∈[
1
e,+∞),
由于f(x)在区间(0,e]上是增函数,所以f′(x)≥0在(0,e]上恒成立,
即a+
1
x≥0在(0,e]上恒成立,所以a≥−
1
x在(0,e]上恒成立,
由
1
x∈[
1
e,+∞),知−
1
x∈(−∞,−
1
e],即−
1
x≤−
1
e
所以当a≥−
1
e时,a≥−
1
x恒成立,
故所求a的取值范围为:a≥−
1
e
(3)由(1)中的结论f(x)由唯一极值-1知,函数f(x)由最大值-1,
即f(x)≤-1,所以|f(x)|≥1,
令g(x)=
lnx
x+
1
2,则g′(x)=
1−lnx
x2
当0<x<e时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>e时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以g(x)在(0,+∞)上的最大值为g(e)=
1
e+
1
2,
从而g(x)≤
1
e+
1
2,又
1
e+
1
2<1,所以方程|f(x)|=
1nx
x+
1
2无实数解.
设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.
高中数学已知函数f(x)=lnx-(ax^2)/2+(a-1)x,其中实数 |a|
已知函数f(X)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数
设函数f(x)=lnx -a/x,g(x)=(ax+1)e^x ,其中a 为实数
已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.
已知函数 f(x)=lnx+ 1-x ax ,其中a 为大于零的常数.
已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数,当x>0时,f(x)=ax+lnx,其中a属于R
已知函数f(x)=e^x-ax-1(a为实数,g(x)=lnx-x
已知函数f(x)=e∧x+ax,g(x)=ax-lnx,其中a
已知函数f(x)=lnx-ax²,其中a
设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=e^X-ax,其中a为实数. (1)若f(x)在(1,+∞
已知函数f(x)=ax,g(x)=lnx,其中a∈R.