设X和Y是可分拓扑空间,证明：X*Y也是可分拓扑空间.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/10/05 00:54:38

设A和B是分别是X和Y中的可数稠密子集,那么A*B是 X*Y的可数稠密子集（稠密性直接用乘积拓扑的拓扑基来说就行了）.
再问：能否给个详细的，具体的过程？
再答：那么就证一下刚才所说的，A*B是X*Y的可数稠密子集好了。可数性显然，它是两个可数集合的乘积。至于稠密性，任取一个点(x,y)属于X*Y，它的任何邻域，按照X*Y的乘积拓扑的定义，都包含一个形如U*V的开集，其中U是X中包含x的一个开集，V是Y中包含y的一个开集。因为A在X中稠密，所以A和U有一个公共元素a（属于X)，类似，B和V有一个公共元素b（属于Y），那么U*V和A*B有一个公共元素(a,b)。这就是说，(x,y)的任何一个邻域都和A*B有非空交集（从而(x,y)在A*B的闭包中，而这个(x,y)是任意选取的），也就是说A*B在X*Y中稠密。如果是初学点集拓扑，上面所说的或许有一点点跳步，不过应该不会太难看懂。
再问：先谢谢你，由于我没有基础，所以很难看明白，能不能麻烦你把整个证明的步骤写给我呢？
再答：看不明白可能是因为我没有把要点单列出来，另外自己需要仔细想。比如你或许可以试图自己回答：X可分的意思是什么？按定义，意思就是，存在一个A，是X的可数稠密子集。那么这个又是什么意思？意思就是A是可数的，并且A在X中的闭包就是X的全部。对Y作同样的分析，于是知道存在X的子集A，和Y的子集B使得： (1)A是可数的，并且A在X中的闭包就是X的全部；并且 (2)B是可数的，并且B在Y中的闭包就是Y的全部。为了证明X*Y是可分的（再想一下，X*Y可分是什么意思？），我们可以直接试图证明： (3)A*B是可数的，并且A*B在X*Y中的闭包就是X*Y的全部。假如能证出(3)，那么X*Y就是可分的了。两个可数集的乘积是可数的，这是集合论的内容，不清楚的话只好去看实变函数的教材之类的。为证明“A*B在X*Y中的闭包就是X*Y的全部”，需要明白闭包是什么意思，还有X*Y的乘积拓扑是怎么定义的。我想重复一下的是，没有基础的话，一定要多想，不要犯懒。尽量不要看书上或者别人提供的“完整答案”，尽量按照提示自行解决问题。初学者都是这样练习的。当然，如果你实在没有任何数学基础的话，可以说一下你的分析课大约学到哪了。一般来讲，两维、三维实空间上，什么是开集、闭包，你应该是知道的才好（这样拓扑上定义开、闭集你才看得顺眼）；另外就是实变函数课里面关于集合的基数（或者叫势）的东西需要知道一点。这样基本上基础就够了（对于这道题而言）。如果比如你说你完全没学过什么是微分的话，那确实先要好好学之前的东西，不要急于学这个。

一个拓扑概念求解答欧几里得空间里设X={1,2,3}.则{X,{},{1,2}}是X的一个拓扑,但｛X,｛｝,｛1｝,｛相对拓扑空间的定义有关拓扑空间的开集定义实数空间中有多少个拓扑? 拓扑空间中的开集怎么定义的? 任何集合上都能构造出一个拓扑空间吗向量空间证明题证明：三维行向量空间R^3中的向量集合V={（x,y,z）|x+y+z=0}是向量空间,并求出他的维数和一什么是物理拓扑和逻辑拓扑物理拓扑和逻辑拓扑到底是怎么回事? 什么叫5度（维）空间现在我们常见的有2维空间和3维空间,这些很好理解2维空间就是X、Y坐标的空间,3维空间就是X、Y、Z 什么叫5度（维）空间现在我们常见的有2维空间和3维空间,这些很好理解2维空间就是X、Y坐标的空间 ,3维空间就是X、Y 请教拓扑概念的意思我以前没有接触过拓扑,子集族、指标集、拓扑空间的形象的意义.