若f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的什么条件?证明你的结论

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/11/08 18:45:08

若f(x)在R上为增函数,则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)是a+b>0的充分必要条件.
证：
一. 必要性的证明.
f(x)在R上为增函数,f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 意味着a,b 中,至少一个为正.
不失一般性,设a>0.
如b>0, 则 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 成立.
如b0 --> b>-a --> f(b)>f(-a) (1)
且因 b f(a)>f(-b) (2)
(1)+(2) --> f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 成立.
也就是说,由 a+b>0 可得出 f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).
即：f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 是 a+b>0 的必要条件. 必要性得证!
二. 充分性的证明.
f(x)在R上为增函数. 设f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)对一切a,b成立.
令 a=0 --> f(0)+f(b)>f(0)+f(-b) --> f(b)>f(-b) --> b>0 (3)
令 b=0 --> f(a)+f(0)>f(a)+f(0) --> f(a)>f(-a) --> a>0 (4)
(3)+(4) --> a+b>0
即：f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 是 a+b>0 的充分条件. 充分性得证!

定义在R上函数f(x) f(a+b)=f(a)+f(b) 证明函数为奇函数已知函数fx是r上的增函数,对于实数ab若a+b>0,则 ( ) a.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) b.f 函数f(x)对任意的a,b属于R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,当x>0时,f(x)>1,证明：f(x)是R上已知函数F(X)是R上的减函数,且a+b大于0,求证f(a)+f(b) 小于f(-a)+f(-b) 已知函数f（x）是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．” 求证：已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0 函数证明题已知函数y=f(x)的定义域为R,且对于任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x＞0是,f 定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)×f(b),f(0)不等于0且f(x)为减函数若函数f(x)是R上的减函数,a,b属于R,且a+b小于等于0,则f(a)+f(b)和-[f(a)+f(b)的关系? 【中值定理证明题】设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)f(b)>0,f(a)f((a+b)/ 已知函数y=f(x)的定义域是R,且对任意a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b).证明函数y=f(x)R上的减函数设原命题是：“已知函数f（x）是R上的增函数,若a+b>0则f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)"写出它的逆命题、