y=sinx和y=cosx在[0,π/2]上与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转而得的旋转体体积为?
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/05 16:51:13
y=sinx和y=cosx在[0,π/2]上与y轴所围成的平面图形绕x轴旋转而得的旋转体体积为?
问题比较模糊不清,我就分三种情况分述如下:
1、单独y=sinx,
V=π∫ [0,π/2] (sinx)^2dx
=(π/2)∫ [0,π/2] (1-cos2x)dx
=(π/2)[x-(sin2x)/2][0,π/2]
=(π/2)[π/2-0-(0-0)]
=π^2/4.
2、单独y=cosx,
V=π∫ [0,π/2] (cosx)^2dx
=(π/.2)∫[0,π/2](1+cos2x)dx
=(π/2)[ 0,π/2] [x+(sin2x)/2]
=(π/2)[π/2+0-(0+0)]
=π^2/4.
3、由y=sinx和y=cosx相交曲线绕X轴旋转体积,
sinx=cosx,
tanx=1,
x=π/4,y=√2/2,
sinx 和cosx交点为(π/4,√2/2),
V=π∫[0,π/4](cosx)^2dx+π∫ [π/4,π/2](sinx)^2dx
=(π/2)∫ (1+cos2x)dx+(π/2)∫ [π/4,π/2](1-cos2x)dx
=(π/2)[x+(sin2x)/2] [0,π/4]+(π/2)[x-(sin2x)/2] [0,π/4]
=(π/2)(π/4+1/2)+(π/2)(π/2+1/2)
=π^2/8+π/4+π^2/8+π/4
=π^2/4+π/2.
1、单独y=sinx,
V=π∫ [0,π/2] (sinx)^2dx
=(π/2)∫ [0,π/2] (1-cos2x)dx
=(π/2)[x-(sin2x)/2][0,π/2]
=(π/2)[π/2-0-(0-0)]
=π^2/4.
2、单独y=cosx,
V=π∫ [0,π/2] (cosx)^2dx
=(π/.2)∫[0,π/2](1+cos2x)dx
=(π/2)[ 0,π/2] [x+(sin2x)/2]
=(π/2)[π/2+0-(0+0)]
=π^2/4.
3、由y=sinx和y=cosx相交曲线绕X轴旋转体积,
sinx=cosx,
tanx=1,
x=π/4,y=√2/2,
sinx 和cosx交点为(π/4,√2/2),
V=π∫[0,π/4](cosx)^2dx+π∫ [π/4,π/2](sinx)^2dx
=(π/2)∫ (1+cos2x)dx+(π/2)∫ [π/4,π/2](1-cos2x)dx
=(π/2)[x+(sin2x)/2] [0,π/4]+(π/2)[x-(sin2x)/2] [0,π/4]
=(π/2)(π/4+1/2)+(π/2)(π/2+1/2)
=π^2/8+π/4+π^2/8+π/4
=π^2/4+π/2.
曲线y=x²与x=y²所围平面图形绕x轴旋转而得的旋转体的体积为多少?
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