柯西不等式的几种证法(详细)
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/02 18:03:20
柯西不等式的几种证法(详细)
法一:向量分析
设A=(a1,a2,……an)B=(b1,b2,……bn)
∵A·B≤|A||B|
∴a1b1+a2b2+……anbn≤√a1²+a2²+……an²√b1²+b2²+……bn²
∴(Σaibi)²≤Σai²Σbi²
法二:构造二次函数
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得:
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0,
移项得AC≥B^2,欲证不等式已得证.
设A=(a1,a2,……an)B=(b1,b2,……bn)
∵A·B≤|A||B|
∴a1b1+a2b2+……anbn≤√a1²+a2²+……an²√b1²+b2²+……bn²
∴(Σaibi)²≤Σai²Σbi²
法二:构造二次函数
当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,一般形式显然成立
令A=∑ai^2 B=∑ai·bi C=∑bi^2
当a1,a2,…,an中至少有一个不为零时,可知A>0
构造二次函数f(x)=Ax^2+2Bx+C,展开得:
f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑ (ai·x+bi)^2≥0
故f(x)的判别式△=4B^2-4AC≤0,
移项得AC≥B^2,欲证不等式已得证.